Формула пуассона теория вероятности примеры решения. Приближенная формула Пуассона, примеры решений и теория

Спасибо, что читаете и делитесь с другими

При большом числе испытаний $n$ и малой вероятности $р$ формулой Бернулли пользоваться неудобно, например, $0.97^{999}$ вычислить трудно.

В этом случае для вычисления вероятности того, что в $n$ испытаниях ($n$ – велико) событие произойдет $k$ раз, используют формулу Пуассона :

$$ P_n(k)=\frac{\lambda^k}{k!}\cdot e^{-\lambda}, \qquad \lambda=n \cdot p. $$

Здесь $\lambda=n \cdot p$ обозначает среднее число появлений события в $n$ испытаниях.

Эта формула дает удовлетворительное приближение для $p \le 0,1$ и $np \le 10$. При больших $np$ рекомендуется применять формулы Лапласа (Муавра-Лапласа). Cобытия, для которых применима формула Пуассона, называют редкими , так как вероятность их осуществления очень мала (обычно порядка 0,001-0,0001).

На сайте есть бесплатный онлайн-калькулятор для формулы Пуассона

Примеры решений

Пример. Устройство состоит из 1000 элементов, работающих независимо один от другого. Вероятность отказа любого элемента в течении времени Т равна 0,002. Найти вероятность того, что за время Т откажут ровно три элемента.

Решение. По условию дано: .

Искомая вероятность

Пример. Завод отправил на базу 500 изделий. Вероятность повреждения изделия в пути 0,004. Найти вероятность того, что в пути повреждено меньше трех изделий.

Решение. По условию дано: .

По теореме сложения вероятностей

Пример. Магазин получил 1000 бутылок минеральной воды. Вероятность того, что при перевозке бутылка окажется разбитой, равна 0,003. Найти вероятность того, что магазин получит более двух разбитых бутылок.

Решение. По условию дано: .

Получаем:

Подробную статью о формуле с примерами, онлайн калькулятор и расчетный файл к видеоролику вы найдете тут.

Если вероятность появления события в отдельном испытании достаточно близка к нулю , то даже при больших значениях количества испытаний вероятность, вычисляемая по локальной теореме Лапласа, оказывается недостаточно точной. В таких случаях используют формулу, выведенную Пуассоном.

ТЕОРЕМА ПУАССОНА

Если вероятность наступления события в каждом испытании постоянна, но достаточно мала, число независимых испытаний достаточно велико, при этом сочетания меньше десяти то вероятность того, что в количестве испытаниях событие наступит ровно раз примерно равна

Для формулы Пуассона используют таблицы табулирования функции .

——————————-

Рассмотрим примеры типичных для студентов задач.

Пример 1. Автобиография писателя издается тиражом в 1000 экземпляров. Для каждой книги вероятность быть неправильно сброшюрованной равна 0,002. Найти вероятность того, что тираж содержать ровно 7 бракованных книг.

Решение. Проверим выполнение условия теоремы Пуассона. Для входных значений

что условия выполняются.
По табличным значениям функции Пуассона находим вероятность

Применения к этому событию локальную теорему Лапласа получим

Точное значение вероятности определяем по формуле Бернулли

Из анализа трех методов следует, что формула Пуассона дает более точнее приближения, чем формула Лапласа. Именно поэтому ее рекомендуют применять для отыскания вероятности в такого сорта задачах.

——————————-

Пример 2. Вероятность изготовления нестандартной детали равна 0,004. Найти вероятность того, что среди 1000 деталей окажется 5 нестандартных.

Формула Пуассона

Имеем даные , которые удовлетворяют требования теоремы Пуассона По таблице функции Пуассона при получим:

Найдем вероятность того же события по локальной теореме Лапласа.

Предельные теоремы в схеме Бернулли.

Предположим, что мы хотим определить вероятность выпадения ровно 5100 «гербов» при 10000 бросаний монеты. Ясно, что при таком большом числе испытаний использование формулы Бернулли весьма затруднительно с точки зрения вычислений. В таких случаях пользуются асимптотическими формулами Пуассона и Муавра-Лапласа.

Асимптотические формулы Муавра-Лапласа.

Теорема 1. Локальная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы, а число независимых испытаний п достаточно велико, то вероятностьP n (k) того, что событие А появиться в n испытаниях ровно k раз приближенно равна

где . Причем это равенство тем точнее, чем больше n.

Имеются специальные таблицы, в которых помещены значения функции (функция Гаусса), соответствующие положительным значениям аргумента х . Для отрицательных значений аргумента пользуются теми же таблицами, так как функция четна, т. е. . При

Пример 1. Найти вероятность того, что событие А наступит ровно 80 раз в 400 испытаниях, если вероятность появления этого события в каждом испытании равна 0,2.

Решение. По условию, n = 400; k = 80; р = 0,2; q = 0,8. Вос­пользуемся асимптотической формулой Лапласа:

Вычислим х: . По таблице находим = 0,3989. Искомая вероятность

.

Формула Бернулли приводит примерно к такому же результату:

.

Пример 2. Вероятность поражения мишени стрелком при одном выстреле р = 0,75. Найти вероятность того, что при 10 выстрелах стрелок поразит мишень 8 раз.

Решение. По условию, n =10; k = 8; р = 0,75; q = 0,25. Воспользуемся асимптотической формулой Лапласа:

Вычислим х: . По таблице находим = 0,3739. Искомая вероятность

Формула Бернулли приводит к иному результату, а, именно . Столь значительное расхождение ответов объясняется тем, что в настоящем примере п имеет малое значение (формула Муавра-Лапласа дает достаточно хорошие приближения лишь при достаточно больших значениях п ).

Теорема 2. Интегральная теорема Муавра-Лапласа. Если вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля, и единицы, а число независимых испытаний п достаточно велико, то вероятность Р п (k l , k 2 ) того, что событие А появится в п испытаниях от k 1 до k 2 раз (не менее k 1 и не более k 2 ), приближенно равна определенному интегралу

(2)

где и . Причем это равенство тем точнее, чем больше n.

При решении задач, требующих применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа, пользуются специальными таблицами, так как неопределенный интеграл не выражается через элементарные функции. В таблице даны значения функции Лапласа дляположительных значений х и для х = 0; для х < 0 пользуются той же таблицей, функция Ф (x ) нечетна, т.е. . В таблице приведены значения интеграла лишь до х = 5, так как для х > 5 можно принять Ф (х ) = 0,5.

Для того чтобы можно было пользоваться таблицей функции Лапласа, преобразуем соотношение (2) так:

Итак,вероятность того, что событие А появится в п независимых испытанияхот k 1 до k 2 раз,

где и .

Пример. Вероятность того, что деталь не прошла проверку ОТК, равна р = 0,2. Найти вероятность того, что среди 400 случайно отобранных деталей окажется непроверенных от 70 до 100 деталей.

Решение. По условию, р = 0,2; q = 0,8; n = 400; k 1 = 70; k 2 =100. Воспользуемся интегральной теоремой Лапласа. Вычислим нижний и верхний пределы интегрирования:

Таким образом, имеем

Р 400 (70, 100)=Ф(2,5) - Ф (- 1,25) = Ф (2,5) + Ф (1,25). По таблице находим:

Ф (2,5) = 0,4938; Ф (1,25) = 0,3944.

Искомая вероятность

Р 400 (70, 100)=0,4938 + 0,3944=0,8882.

Замечание. С помощью функции Лапласа можно найти вероятность отклонения относительной частоты от вероятности р в п независимых испытаниях, используя формулу: , где - некоторое число.

Асимптотическая формула Пуассона.

Пусть число испытаний п в схеме Бернулли неограниченно увеличивается, а вероятность успеха р в одном испытании неограниченно уменьшается, причем их произведение = пр . сохраняет постоянное значение. Это означает, что среднее число появлений события в различных сериях испытаний, т.е. при различных значениях п , остается неизменным. Тогда Р п (k ) определяется по приближенной формуле (формула Пуассона)

.

Замечание 1. Имеются специальные таблицы, пользуясь которыми можно найти Р п (k ), зная и k.

Замечание 2. Формулу Пуассона применяют, когда вероятность успеха крайне мала, т.е. сам по себе успех является редким событием (например, выигрыш автомобиля по лотерейному билету), но количество испытаний велико, среднее число успехов = пр незначительно. ().

Замечание 3. Формула Пуассона справедлива также по отношению к числу неудач, если число испытаний п в схеме Бернулли неограниченно увеличивается, а вероятность неудачи q в одном испытании неограниченно уменьшается причем сохраняет постоянное значение.

Пример. Завод отправил на базу 5000 доброкачественных изделий Вероятность того, что в пути изделие повредится, равна 0,0002. Найти вероятность того, что на базу прибудут 3 негодных изделия.

Решение. По условию, п = 5000, р = 0,0002, k = 3. = пр = 5000 *0,0002 = 1.

По формуле Пуассона искомая вероятность приближенно равна

.

Формула Пуассона находит широкое применение в теории массового обслуживания. Ее можно считать математической моделью простейшего потока событий.

Определение 1. Потоком событий называют последовательность событий, которые наступают в случайные моменты времени . Примерами потоков служат: поступление вызовов на АТС, на пункт неотложной медицинской помощи, прибытие самолетов в аэропорт, клиентов на предприятие бытового обслуживания, последовательность отказов элементов и многие другие. События, образующие поток, в общем случае могут быть различными, но мы будем рассматривать только поток однородных событий, различающихся только моментами появления. Такой поток можно изобразить как последовательность точек на числовой оси .

Определение 2. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через строго определенные промежутки времени.

Определение 3. Стационарным называется поток событий, который характеризуется тем, что вероятность появления k событий на промежутке времени длительностью зависит только от числа k и от длительности промежутка и не зависит от того, где на числовой оси расположен этот участок, т.е. вероятность появления k событий за промежуток времени, длительности t есть функция, зависящая только от k и t. Следовательно, среднее число событий, появляющихся в единицу времени (интенсивность потока ) есть величина постоянная.

Определение 4. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых непересекающихся участков времени число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие.

Определение 5. Поток событий называется ординарным, если вероятность попадания на бесконечно малый участок двух или более событий пренебрежимо мала по сравнению с вероятностью попадания одного события.(события появляются не группами, а по одиночке)

Определение 6. Простейшим (стационарным пуассоновским) называют поток событий, который обладает свойствами стационарности, отсутствия последействия и ординарности.

Замечание. Установлено что если поток представляет собой сумму очень большого числа независимых стационарных потоков, влияние каждого из которых на всю сумму (суммарный поток) ничтожно мало, то суммарный поток (при условии его ординарности) близок к простейшему..

Можно доказать, что если постоянная интенсивность потока известна, то вероятность появления k событий простейшего потока за время длительностью t определяется формулой Пуассона.

Эта формула отражает все свойства простейшего потока.

Пример. Среднее число вызовов, поступающих на АТС в одну минуту, равно двум. Найти вероятности того, что за 5 мин поступит: а) 2 вызова; б) менее двух вызовов; в) не менее двух вызовов. Поток вызовов предполагается простейшим.

Решение. По условию Воспользуемся формулой Пуассона.

Б) События не поступило ни одного вызова и поступил один вызов несовместны, поэтому по формуле сложения искомая вероятность

В) События поступило менее 2 вызовов и поступило не менее 2 вызовов противоположны, поэтому

Рассмотрим уравнение

Где функция определена на .

Это уравнение определяет распространение бегущей волны в n-мерной однородной среде со скоростью a в моменты времени t > 0 .

Для того, чтобы решение было однозначным, необходимо определить начальные условия. Начальные условия определяют состояние пространства (или, говорят, «начальное возмущение») в момент времени t = 0 :

Тогда обобщённая формула Кирхгофа даёт решение этой задачи.

Сам Кирхгоф рассматривал только трёхмерный случай.

Идея получения решения

Простой вывод решения основной задачи использует преобразование Фурье. Обобщенная формула Кирхгофа имеет следующий вид:

.

В случае, если в волновом уравнении имеется правая часть f , в правой части формулы появится слагаемое:

Физические следствия

Передний и задний волновые фронты от локализованного в пространстве возмущения действуют на наблюдателя в течение ограниченного отрезка времени

Пусть в начальный момент времени t = 0 на некотором компакте M есть локальное возмущение ( и/или ). Если мы находимся в некоторой точке , то, как видно из формулы (область интегрирования), возмущение мы почувствуем через время .

Вне отрезка времени , где , функция u (x 0 , t ) равна нулю.

Таким образом, начальное возмущение, локализованное в пространстве, вызывает в каждой точке пространства действие, локализованное во времени, то есть возмущение распространяется в виде волны, имеющей передний и задний фронты, что выражает принцип Гюйгенса). На плоскости же этот принцип нарушается. Обоснованием этого является тот факт, что носитель возмущения, компактный в , уже не будет компактным в , а будет образовывать бесконечный цилиндр, и, следовательно, возмущение будет неограниченно во времени (у цилиндрических волн отсутствует задний фронт).

Формула Пуассона -Парсеваля

Решение уравнения колебаний мембраны

(функция f (x ,t )

с начальными условиями

задаётся формулой:

tex" alt=" +\frac{\partial}{\partial t}\frac{1}{2\pi a}\iint\limits_{r.

Формула Д"Аламбера

Решение одномерного волнового уравнения

(функция f (x ,t ) соответствует вынуждающей внешней силе)

с начальными условиями

имеет вид

В область II приходят характеристики только из одного семейства

При пользовании формулой Д"Аламбера следует учесть, что иногда решение может не быть единственным во всей рассматриваемой области . Решение волнового уравнения представляется в виде суммы двух функций: u (x ,t ) = f (x + a t ) + g (x − a t ) , то есть оно определяется двумя семействами характеристик: . Пример, показанный на рисунке справа, иллюстрирует волновое уравнение для полубесконечной струны, и начальные условия в нём заданы только на зеленой линии x ≥0. Видно, что в область I приходят как ξ-характеристики, так и η-характеристики, в то время как в области II есть только ξ-характеристики. То есть, в области II формула Д"Аламбера не работает.

Применение формул

В общем виде формула Кирхгофа довольно громоздка, а потому решение задач математической физики с её помощью обычно является затруднительным. Однако, можно воспользоваться линейностью волнового уравнения с начальными условиями и искать решение в виде суммы трех функций: u (x ,t ) = A (x ,t ) + B (x ,t ) + C (x ,t ) , которые удовлетворяют следующим условиям:

Сама по себе такая операция не упрощает пользование формулой Кирхгофа, но для некоторых задач оказывается возможным подбор решения, либо сведение многомерной задачи к одномерной путем замены переменных. Например, пусть . Тогда, сделав замену ξ = x + 3y − 2z , уравнение для задачи "С" примет вид:

Таким образом, пришли к одномерному уравнению, а, значит, можно воспользоваться формулой Д"Аламбера:

В силу четности начального условия, решение сохранит свой вид во всей области t > 0 .

Литература

Михайлов В.П., Михайлова Т.В., Шабунин М.И. Сборник типовых задач по курсу Уравнения математической физики. - М.: МФТИ, 2007. - ISBN 5-7417-0206-6

Ссылки

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Формула Пуассона" в других словарях:

Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём трёхмерном пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно… … Википедия

Формула Кирхгофа аналитическое выражение для решения гиперболического уравнения в частных производных (т. н. «волнового уравнения») во всём пространстве. Методом спуска (то есть уменьшением размерности) из него можно получить решения двумерного… … Википедия

Формула, представляющая единств. классич. решение и(х, t) Koши задачи для волнового ур ния в трёхмерном пространстве времени, (где с скорость распространения сигнала) в случае, если начальные данные f(x), p(х) соответственно трижды и дважды… … Физическая энциклопедия

Формула для вычисления суммы ряда вида Если Фурье преобразование (несколько иначе, чем обычно, нормированное) функции F (x), то (m и n целые). Это и есть П. ф. с.; она может быть… … Большая советская энциклопедия

Формула П. ф. с. имеет место, если, напр., функция g(x).абсолютно интегрируема на интервале, имеет ограниченное изменение и П. ф. с. записывается также в виде где аи b любые два положительных числа, удовлетворяющие условию аb=2p, а c(u).есть… … Математическая энциклопедия

1) То же, что Пуассона интеграл.2) Формула, дающая интегральное представление решения задачи Коши для волнового уравнения в пространстве: и имеющая вид (1) где среднее значение функции j на сфере Sat в пространстве (х, у, z) радиуса at с… … Математическая энциклопедия

Бесконечно делимое распределение в теории вероятностей это распределение случайной величины такой, что она может быть представлена в виде произвольного количества независимых, одинаково распределённых слагаемых. Содержание 1 Определение 2… … Википедия

Как сразу стали поступать запросы: «Где Пуассон? Где задачи на формулу Пуассона?» и т.п . И поэтому я начну с частного применения распределения Пуассона – ввиду большой востребованности материала.

Задача до боли эйфории знакома:

И следующие две задачи принципиально отличаются от предыдущих:

Пример 4

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Отличие состоит в том, что здесь речь идёт ИМЕННО о распределении Пуассона.

Решение : случайная величина принимает значения с вероятностями:

По условию, , и тут всё просто: событие состоит в трёх несовместных исходах :

Вероятность того, что случайная величина примет значение, меньшее, чем ее математическое ожидание.

Ответ :

Аналогичная задача на понимание:

Пример 5

Случайная величина подчинена закону Пуассона с математическим ожиданием . Найти вероятность того, что данная случайная величина примет положительное значение.

Решение и ответ в конце урока.

Помимо приближения биномиального распределения (Примеры 1-3), распределение Пуассона нашло широкое применение в теории массового обслуживания для вероятностной характеристики простейшего потока событий. Постараюсь быть лаконичным:

Пусть в некоторую систему поступают заявки (телефонные звонки, приходящие клиенты и т.д.). Поток заявок называют простейшим , если он удовлетворяет условиям стационарности , отсутствия последствий и ординарности . Стационарность подразумевает то, что интенсивность заявок постоянна и не зависит от времени суток, дня недели или других временнЫх рамок. Иными словами, не бывает «часа пик» и не бывает «мёртвых часов». Отсутствие последствий означает, что вероятность появления новых заявок не зависит от «предыстории», т.е. нет такого, что «одна бабка рассказала» и другие «набежали» (или наоборот, разбежались). И, наконец, свойство ординарности характеризуется тем, что за достаточно малый промежуток времени практически невозможно появление двух или бОльшего количества заявок. «Две старушки в двери?» – нет уж, увольте.

Итак, пусть в некоторую систему поступает простейший поток заявок со средней интенсивностью заявок в минуту (в час, в день или в произвольный промежуток времени). Тогда вероятность того, что за данный промежуток времени , в систему поступит ровно заявок, равна:

Пример 6

Звонки в диспетчерскую такси представляет собой простейший пуассоновский поток со средней интенсивностью 30 вызовов в час. Найти вероятность того, что: а) за 1 мин. поступит 2-3 вызова, б) в течение пяти минут будет хотя бы один звонок.

Решение : используем формулу Пуассона:

а) Учитывая стационарность потока, вычислим среднее количество вызовов за 1 минуту:
вызова – в среднем за одну минуту.

По теореме сложения вероятностей несовместных событий:
– вероятность того, что за 1 минуту в диспетчерскую поступит 2-3 вызова.

б) Вычислим среднее количество вызов за пять минут:

Пусть в эксперименте проводятся повторные испытания по схеме Бернулли и число испытаний велико , вероятность появления наблюдаемого события в одном испытании мала , а параметр является постоянной величиной. Тогда для вероятности - вероятности того, что событие в испытаниях появится раз, справедливо соотношение

. (3.1)

При вычислении вероятности в таком случайном эксперименте можно использовать приближенную формулу

, (3.2)

которая называется формулой Пуассона, а число - параметром Пуассона.

Задача 3.1. Вероятность брака при изготовлении некоторого изделия равна 0,008. Найти вероятность того, что при контроле среди 500 изделий будет не более двух бракованных.

Решение: поскольку вероятность мала, а число испытаний велико, то можно применить формулу Пуассона с параметром . Искомая вероятность является вероятностью суммы трех событий: бракованных изделий оказалось два, одно или ни одного. Поэтому

Определение 3.1

Потоком событий называется последовательность событий, наступающих в случайные моменты времени.

Например , потоком событий будут вызовы, поступающие на АТС, сигналы при сеансе радиосвязи, сообщения, поступающие на сервер, и.т.д.

Определение 3.2

Поток событий называется пуассоновским (простейшим) если он обладает следующими свойствами:

1. Свойством стационарности , т.е. интенсивность потока - постоянная.

2. Свойством ординарности, т.е. появление двух или более событий за малый промежуток практически невозможно.

3. Свойством отсутствия последействия, т.е. вероятность появления событий за промежуток времени не зависит от того, сколько событий появилось на любом другом участке.

Если обозначить - вероятность появления событий пуассоновского потока c интенсивностью за время , то справедлива формула:

. (3.3)

Задача 3.2. Страховая компания обслуживает 10000 клиентов. Вероятность того, что в течение одного дня клиент обратится в компанию, равна 0,0003. Какова вероятность того, что в течение двух дней в нее обратятся 4 клиента?

Решение: Интенсивность потока клиентов в течение одного дня равна

Следовательно, .

Решение задач 3.1 и 3.2 в среде Mathcad показано на рис. 3.

Задача 3.3. Вероятность сбоя считывающего устройства турникета метрополитена в течение часа мала. Найти эту вероятность, если вероятность того, что за 8 часов будет хотя бы один сбой, равна 0,98, и если известно, что за час через турникет проходит в среднем 1000 человек?

Решение: По формулам (1.3) и (3.3) при вероятность того, что в течение 8 часов будет хотя бы один сбой, равна:

С помощью символьных команд, а затем определяется искомая вероятность .