Что наибольший общий делитель чисел. Нод и нок двух чисел, алгоритм евклида
Решим задачу. У нас есть два типа печенья. Одни шоколадные, а другие простые. Шоколадных 48 штук, а простых 36. Необходимо составить из этого печенья максимально возможное число подарков, при этом надо использовать их все.
Для начала выпишем все делители каждого из этих двух чисел, так как оба эти числа должны делиться на количество подарков.
Получаем,
- 48: 1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 16, 24, 48.
- 36: 1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36.
Найдем среди делителей общие, которые есть как у первого, так и у второго числа.
Общими делителями будут: 1, 2, 3, 4, 6, 12.
Наибольшим из всех общих делителей является число 12. Это число называют наибольшим общим делителем чисел 36 и 48.
Исходя из полученного результата, можем заключить, что из всего печенья можно составить 12 подарков. В одном таком подарке будет 4 шоколадных печенья и 3 обычных печенья.
Определение наибольшего общего делителя
- Наибольшее натуральное число, на которое делятся без остатка два числа a и b, называют наибольшим общим делителем этих чисел.
Иногда для сокращения записи используют аббревиатуру НОД.
Некоторые пары чисел имеют в качестве наибольшего общего делителя единицу. Такие числа называют взаимно простыми числами. Например, числа 24 и 35. Имеют НОД =1.
Как найти наибольший общий делитель
Для того чтобы найти наибольший общий делитель не обязательно выписывать все делители данных чисел.
Можно поступить иначе. Сначала разложить на простые множители оба числа.
- 48 = 2*2*2*2*3,
- 36 = 2*2*3*3.
Теперь из множителей, которые входят в разложение первого числа, вычеркнем все те, которые не входят в разложение второго числа. В нашем случае это две двойки.
- 48 = 2*2*2*2*3 ,
- 36 = 2*2*3 *3.
Останутся множители 2, 2 и 3. Их произведение равно 12. Это число и будет являться наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
Это правило можно распространить на случай с тремя, четырьмя и т.д. числами.
Общая схема нахождения наибольшего общего делителя
- 1. Разложить числа на простые множители.
- 2. Из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел.
- 3. Посчитать произведение оставшихся множителей.
2 |
5 |
||||||
2 |
5 |
||||||
3 |
3 |
||||||
5 |
|||||||
60=2*2*3*5
75=3*5*5
2) Выпишем множители, входящие в разложение первого из этих чисел и добавим к ним недостающий множитель 5 из разложения второго числа. Получаем: 2*2*3*5*5=300. Нашли НОК, т.е. эта сумма = 300. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Мама дает по 300 рублей.
Определение НОД: Наибольшим общим делителем (НОД) натуральных чисел а и в называют наибольшее натуральное число c , на которое и a , и b делятся без остатка. Т.е. c это нибольшее натуральное число, для которого и а и б являются кратными.
Памятка: Существуют два подхода к определению натуральных чисел
- числа, используемые при: перечислении (нумеровании) предметов (первый, второй, третий, …); - в школах, обычно так .
- обозначении количества предметов (нет покемонов - ноль, один покемон, два покемона, …).
Отрицательные и нецелые (рациональные, вещественные, …) числа натуральными не являются. Ноль некоторые авторы включают в множество натуральных чисел, другие - нет. Множество всех натуральных чисел принято обозначать символом N
Памятка:
Делителем натурального числа a
называют число b,
на которое a
делится без остатка. Кратным натуральному числу b
называют натуральное число a
, которое делится на b
без остатка. Если число b
- делитель числа a
, то a
кратно числу b
. Пример: 2 - делитель 4, а 4 кратно двум. 3 - делитель 12, а 12 кратно 3.
Памятка:
Натуральные числа называют простыми, если они делятся без остатка только на себя и на 1. Взаимно простыми называются числа у которых только один общий делитель, равный 1.
Определение как найти НОД в общем случае:
Чтобы найти НОД (Наибольший общий делитель)
нескольких натуральных чисел надо:
1) Разложить их на простые множители. (Для этого Вам может очень пригодиться Таблица простых чисел.)
2) Выписать множители, входящие в разложение одного из них.
3) Вычеркнуть те, которые не входят в разложение остальных чисел.
4) Перемножить множители, получившиеся в п.3).
Задача 2 на (НОК): К новому году Коля Пузатов купил в городе 48 хомяков и 36 кофейников. Фекла Дормидонтова, как самая честная девочка класса, получила задание разделить это имущество на наибольшее возможное число подарочных наборов для учителей. Какое число наборов получилось? Какой состав наборов?
Пример 2.1. решения задачи на нахождение НОД. Нахождение НОД подбором.
Решение:
Каждое из чисел и 48, и 36 должно делиться на число подарков.
1) Выпишем делители 48: 48, 24, 16, 12
, 8, 6, 3, 2, 1
2) Выпишем делители 36: 36, 18, 12
, 9, 6, 3, 2, 1 Выбираем наибольший общий делитель. Оп-ля-ля! Нашли, это число наборов 12 штук.
3) Поделим 48 на 12 получим 4, поделим 36 на 12, получим 3. Не забываем размерность и пишем ответ:
Ответ: Получится 12 наборов по 4 хомяка и 3 кофейника в каждом наборе.
Чтобы научиться находить наибольший общий делитель двух или нескольких чисел, необходимо разобраться с тем, что представляют из себя натуральные, простые и сложные числа.
Натуральным называется любое число, которое используется при подсчете целых предметов.
Если натуральное число можно разделить только на само себя и единицу, то его называют простым.
Все натуральные числа можно разделить на себя и единицу, однако единственным четным простым числом является 2, все остальные можно поделить на двойку. Поэтому простыми могут быть только нечетные числа.
Простых чисел достаточно много, полного списка их не существует. Для нахождения НОД удобно использовать специальные таблицы с такими числами.
Большинство натуральных чисел могут делиться не только на единицу, самих себя, но и на другие числа. Так, например, число 15 можно поделить еще на 3 и 5. Все их называют делителями числа 15.
Таким образом, делитель любого А - это число, на которое оно может быть разделено без остатка. Если у числа имеется более двух натуральных делителей, его называют составным.
У числа 30 можно выделить такие делители, как 1, 3, 5, 6, 15, 30.
Можно заметить, что 15 и 30 имеют одинаковые делители 1, 3, 5, 15. Наибольший общий делитель этих двух чисел - 15.
Таким образом, общим делителем чисел А и Б называется такое число, на которое можно поделить их нацело. Наибольшим можно считать максимальное общее число, на которое можно их разделить.
Для решения задач используется такая сокращенная надпись:
НОД (А; Б).
Например, НОД (15; 30) = 30.
Чтобы записать все делители натурального числа, применяется запись:
Д (15) = {1, 3, 5, 15}
НОД (9; 15) = 1
В данном примере у натуральных чисел имеется только один общий делитель. Их называют взаимно простыми, соответственно единица и является их наибольшим общим делителем.
Как найти наибольший общий делитель чисел
Чтобы найти НОД нескольких чисел, нужно:
Найти все делители каждого натурального числа по отдельности, то есть разложить их на множители (простые числа);
Выделить все одинаковые множители у данных чисел;
Перемножить их между собой.
Например, чтобы вычислить наибольший общий делитель чисел 30 и 56, нужно записать следующее:
Чтобы не путаться при , удобно записывать множители при помощи вертикальных столбиков. В левой части от черты нужно разместить делимое, а в правой - делитель. Под делимым следует указать получившееся частное.
Так, в правом столбце окажутся все нужные для решения множители.
Одинаковые делители (найденные множители) можно для удобства подчеркнуть. Их следует переписать и перемножить и записать наибольший общий делитель.
НОД (30; 56) = 2 * 5 = 10
Вот так просто на самом деле найти наибольший общий делитель чисел. Если немного потренироваться, делать это можно будет практически на автомате.
Признаки делимости натуральных чисел.
Числа, делящиеся без остатка на 2, называются четными .
Числа, которые не делятся без остатка на 2, называются нечетными .
Признак делимости на 2
Если запись натурального числа оканчивается четной цифрой, то это число делится без остатка на 2, а если запись числа оканчивается нечетной цифрой, то это число не делится без остатка на 2.
Например, числа 6 0 , 30 8 , 8 4 делятся без остатка на 2, а числа 5 1 , 8 5 , 16 7 не делятся без остатка на 2.
Признак делимости на 3
Если сумма цифр числа делится на 3, то и число делится на 3; если сумма цифр числа не делится на 3, то и число не делится на 3.
Например, выясним, делится ли на 3 число 2772825. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 2+7+7+2+8+2+5 = 33 - делится на 3. Значит, число 2772825 делится на 3.
Признак делимости на 5
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0 или 5, то это число делится без остатка на 5. Если же запись числа оканчивается иной цифрой, то число без остатка на 5 не делится.
Например, числа 1 5 , 3 0 , 176 5 , 47530 0 делятся без остатка на 5, а числа 1 7 , 37 8 , 9 1 не делятся.
Признак делимости на 9
Если сумма цифр числа делится на 9, то и число делится на 9; если сумма цифр числа не делится на 9, то и число не делится на 9.
Например, выясним, делится ли на 9 число 5402070. Для этого подсчитаем сумму цифр этого числа: 5+4+0+2+0+7+0 = 16 - не делится на 9. Значит, число 5402070 не делится на 9.
Признак делимости на 10
Если запись натурального числа оканчивается цифрой 0, то это число делится без остатка на 10. Если запись натурального числа оканчивается другой цифрой, то оно не делится без остатка на 10.
Например, числа 4 0 , 17 0 , 1409 0 делятся без остатка на 10, а числа 1 7 , 9 3 , 1430 7 - не делятся.
Правило нахождения наибольшего общего делителя (НОД).
Чтобы найти наибольший общий делитель нескольких натуральных чисел, надо:
2) из множителей, входящих в разложение одного из этих чисел, вычеркнуть те, которые не входят в разложение других чисел;
3) найти произведение оставшихся множителей.
Пример. Найдем НОД (48;36). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 48 и 36 на простые множители.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
36 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Из множителей, входящих в разложение числа 48 вычеркнем те, которые не входят в разложение числа 36.
48 = 2 · 2 · 2 · 2 · 3
Остаются множители 2, 2 и 3.
3. Перемножим оставшиеся множители и получим 12. Это число и является наибольшим общим делителем чисел 48 и 36.
НОД (48;36) = 2 · 2 · 3 = 12.
Правило нахождения наименьшего общего кратного (НОК).
Чтобы найти наименьшее общее кратное нескольких натуральных чисел, надо:
1) разложить их на простые множители;
2) выписать множители, входящие в разложение одного из чисел;
3) добавить к ним недостающие множители из разложений остальных чисел;
4) найти произведение получившихся множителей.
Пример. Найдем НОК (75;60). Воспользуемся правилом.
1. Разложим числа 75 и 60 на простые множители.
75 = 3 · 5 · 5
60 = 2 · 2 · 3 · 3
2. Выпишем множители, входящие в разложение числа 75: 3, 5, 5.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · …
3. Добавим к ним недостающие множители из разложения числа 60, т.е. 2, 2.
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2
4. Найдем произведение получившихся множителей
НОК (75;60) = 3 · 5 · 5 · 2 · 2 = 300.
Наибольший общий делитель
Определение 2
Если натуральное число a делится на натуральное число $b$, то $b$ называют делителем числа $a$, а число $a$ называют кратным числа $b$.
Пусть $a$ и $b$-натуральные числа. Число $c$ называют общим делителем и для $a$ и для $b$.
Множество общих делителей чисел $a$ и $b$ конечно, так как ни один из этих делителей не может быть больше, чем $a$. Значит,среди этих делителей есть наибольший, который называют наибольшим общим делителем чисел $a$ и $b$ и для его обозначения используют записи:
$НОД \ (a;b) \ или \ D \ (a;b)$
Чтобы найти наибольший общий делитель двух, чисел необходимо:
- Найти произведение чисел, найденных на шаге 2. Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
Пример 1
Найти НОД чисел $121$ и $132.$
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Выбрать числа, которые входят в разложение этих чисел
$242=2\cdot 11\cdot 11$
$132=2\cdot 2\cdot 3\cdot 11$
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=2\cdot 11=22$
Пример 2
Найти НОД одночленов $63$ и $81$.
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого:
Разложим числа на простые множители
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Выбираем числа, которые входят в разложение этих чисел
$63=3\cdot 3\cdot 7$
$81=3\cdot 3\cdot 3\cdot 3$
Найдем произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.
$НОД=3\cdot 3=9$
Найти НОД двух чисел можно и по-другому, используя множество делителей чисел.
Пример 3
Найти НОД чисел $48$ и $60$.
Решение:
Найдем множество делителей числа $48$: $\left\{{\rm 1,2,3.4.6,8,12,16,24,48}\right\}$
Теперь найдем множество делителей числа $60$:$\ \left\{{\rm 1,2,3,4,5,6,10,12,15,20,30,60}\right\}$
Найдем пересечение этих множеств: $\left\{{\rm 1,2,3,4,6,12}\right\}$- данное множество будет определять множество общих делителей чисел $48$ и $60$. Наибольший элемент в данном множестве будет число $12$. Значит наибольший общий делитель чисел $48$ и $60$ будет $12$.
Определение НОК
Определение 3
Общим кратным натуральных чисел $a$ и $b$ называется натуральное число, которое кратно и $a$ и $b$.
Общими кратными чисел называются числа которые делятся на исходные без остатка.Например для чисел $25$ и $50$ общими кратными будут числа $50,100,150,200$ и т.д
Наименьшее из общих кратных будет называться наименьшим общим кратным и обозначается НОК$(a;b)$ или K$(a;b).$
Чтобы найти НОК двух чисел, необходимо:
- Разложить числа на простые множители
- Выписать множители, входящие в состав первого числа и добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого
Пример 4
Найти НОК чисел $99$ и $77$.
Будем находить согласно представленному алгоритму. Для этого
Разложить числа на простые множители
$99=3\cdot 3\cdot 11$
Выписать множители, входящие в состав первого
добавить к ним множители, которые входят в состав второго и не ходят в состав первого
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наименьшим общим кратным
$НОК=3\cdot 3\cdot 11\cdot 7=693$
Составление списков делителей чисел часто очень трудоемкое занятие. Существует способ нахождение НОД, называемый алгоритмом Евклида.
Утверждения, на которых основан алгоритм Евклида:
Если $a$ и $b$ --натуральные числа, причем $a\vdots b$, то $D(a;b)=b$
Если $a$ и $b$ --натуральные числа, такие что $b
Пользуясь $D(a;b)= D(a-b;b)$, можно последовательно уменьшать рассматриваемые числа до тех пор, пока не дойдем до такой пары чисел, что одно из них делится на другое. Тогда меньшее из этих чисел и будет искомым наибольшим общим делителем для чисел $a$ и $b$.
Свойства НОД и НОК
- Любое общее кратное чисел $a$ и $b$ делится на K$(a;b)$
- Если $a\vdots b$ , то К$(a;b)=a$
Если К$(a;b)=k$ и $m$-натуральное число, то К$(am;bm)=km$
Если $d$-общий делитель для $a$ и $b$,то К($\frac{a}{d};\frac{b}{d}$)=$\ \frac{k}{d}$
Если $a\vdots c$ и $b\vdots c$ ,то $\frac{ab}{c}$ - общее кратное чисел $a$ и $b$
Для любых натуральных чисел $a$ и $b$ выполняется равенство
$D(a;b)\cdot К(a;b)=ab$
Любой общийй делитель чисел $a$ и $b$ является делителем числа $D(a;b)$