В каких случаях используется формула бернулли. Схема повторных независимых испытаний

Если производится несколько испытаний, причем вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний, то такие испытания называют независимыми относительно события А .

В разных независимых испытаниях событие А может иметь либо различные вероятности, либо одну и ту же вероятность. Будем далее рассматривать лишь такие независимые испытания, в которых событие А имеет одну и ту же вероятность.

Ниже воспользуемся понятием сложного события, понимая под ним совмещение нескольких отдельных событий, которые называют простыми .

Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться либо не появиться. Условимся считать, что вероятность события A в каждом испытании одна и та же, а именно равна р . Следовательно, вероятность ненаступления события А в каждом испытании также постоянна и равна q = 1 - p .

Поставим перед собой задачу вычислить вероятность того, что при n испытаниях событие А осуществится ровно k раз и, следовательно, не осуществится n - k раз. Важно подчеркнуть, что не требуется, чтобы событие А повторилось ровно k раз в определенной последовательности.

Например, если речь идет о появлении события А три раза в четырех испытаниях, то возможны следующие сложные события: ААА, ААА, ААА, ААА . Запись ААА означает, что в первом, втором и третьем испытаниях событие А наступило, а в четвертом испытании оно не появилось, т.е. наступило противоположное событие А; соответственный смысл имеют и другие записи.

Искомую вероятность обозначим Р п (k) . Например, символ Р 5 (3) означает вероятность того, что в пяти испытаниях событие появится ровно 3 раза и, следовательно, не наступит 2 раза.

Поставленную задачу можно решить с помощью так называемой формулы Бернулли.

Вывод формулы Бернулли . Вероятность одного сложного события, состоящего в том, что в п испытаниях событие А наступит k раз и не наступит п - k раз, по теореме умножения вероятностей независимых событий равна p k q n - k . Таких сложных событий может быть столько, сколько можно составить сочетаний из п элементов по k элементов, т.е. С n k .

Так как эти сложные события несовместны , то по теореме сложения вероятностей несовместных событий искомая вероятность равна сумме вероятностей всех возможных сложных событий . Поскольку же вероятности всех этих сложных событий одинаковы, то искомая вероятность (появления k раз события А в п испытаниях) равна вероятности одного сложного события, умноженной на их число:

Полученную формулу называют формулой Бернулли .

Пример 1 . Вероятность того, что расход электроэнергии в течение одних суток не превысит установленной нормы, равна р = 0,75 . Найти вероятность того, что в ближайшие 6 суток расход электроэнергии в течение 4 суток не превысит нормы.

Решение . Вероятность нормального расхода электроэнергии в продолжение каждых из 6 суток постоянна и равна р = 0,75 . Следовательно, вероятность перерасхода электроэнергии в каждые сутки также постоянна и равна q = 1 - р = 1 - 0,75 = 0,25.

Искомая вероятность по формуле Бернулли равна:

При практическом применении теории вероятностей часто приходится встречаться с задачами, в которых один и тот же опыт или аналогичные опыты повторяются неоднократно. В результате каждого опыта может появиться или не появиться событие А , причем нас интересует не результат каждого отдельного опыта, а общее число появлений события А в результате серии опытов. Например, если производится группа выстрелов по одной и той же цели, нас интересует не результат каждого выстрела, а общее число попаданий. Такие задачи решаются достаточно просто, если опыты являются независимыми .

Определение . Независимыми относительно события А испытаниями называются такие, в которых вероятность события А в каждом испытании не зависит от исходов других испытаний.

Пример. Несколько последовательных выниманий карты из колоды представляют собой независимые опыты при условии, что вынутая карта каждый раз возвращается в колоду и карты перемешиваются; в противном случае это – зависимые опыты.

Пример . Несколько выстрелов представляют собой независимые опыты только в случае, если прицеливание производится заново перед каждым выстрелом; в случае, когда прицеливание производится один раз перед всей стрельбой или непрерывно осуществляется в процессе стрельбы (стрельба очередью, бомбометание серией), выстрелы представляют собой зависимые опыты.

Независимые испытания могут производиться в одинаковых или различных условиях. В первом случае вероятность события А во всех опытах одна и та же, во втором случае вероятность события А меняется от опыта к опыту. Первый случай связан со многими задачами теории надежности, теории стрельбы и приводит к так называемой схеме Бернулли , которая состоит в следующем:

1) проводится последовательность n независимых испытаний, в каждом из которых событие А может появиться, либо не появиться;

2) вероятность появления события А в каждом испытании постоянна и равна , как и вероятность его не появления .

Формула Бернулли, с помощью которой находится вероятность появления события А k раз в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А появляется с вероятностью p :

. (1)

Замечание 1 . С возрастанием n и k применение формулы Бернулли связано с вычислительными трудностями, поэтому формула (1) применяется, в основном, если k не превосходит 5 и n не велико.

Замечание 2. В связи с тем, что вероятности по форме представляют собой члены разложения бинома , распределение вероятностей вида (1) называется биномиальным распределением.

Пример . Вероятность попадания в цель при одном выстреле равна 0,8. Найти вероятность пяти попаданий при шести выстрелах.

Решение. Так как , то , кроме того и . Пользуясь формулой Бернулли, получим:

Пример . Производится четыре независимых выстрела по одной и той же цели с различных расстояний. Вероятности попадания при этих выстрелах равны соответственно:

Найти вероятности ни одного, одного, двух, трех и четырех попаданий:

Решение. Составляем производящую функцию:

Пример . Производится пять независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую равна 0,2. Для разрушения цели достаточно трех попаданий. Найти вероятность того, что цель будет разрушена.

Решение. Вероятность разрушения цели вычисляем по формуле:

Пример . Производится десять независимых выстрелов по цели, вероятность попадания в которую при одном выстреле равна 0,1. Для поражения цели достаточно одного попадания. Найти вероятность поражения цели.

Решение. Вероятность хотя бы одного попадания вычисляем по формуле:

3. Локальная теорема Муавра-Лапласа

В приложениях часто приходится вычислять вероятности различных событий, связанных с числом появлений события в n испытаниях схемы Бернулли при больших значениях n . В этом случае вычисления по формуле (1) становятся затруднительными. Трудности возрастают, когда приходится ещё суммировать эти вероятности. Затруднения при вычислениях возникают также при малых значениях p или q .

Лаплас получил важную приближенную формулу для вероятности появления события А точно m раз, если - достаточно большое число, то есть при .

Локальная теорема Муавра – Лапласа . Если вероятность p появления события А в каждом испытании постоянна и отлична от нуля и единицы , , величина ограничена равномерно по m и n, то вероятность появления события А ровно m раз в n независимых испытаниях приближенно равна

Повторные независимые испытания называются испытаниями Бернулли, если каждое испытание имеет только два возможных исхода и вероятности исходов остаются неизменными для всех испытаний.

Обычно эти два исхода называются “успехом” (У) или “неудачей” (Н) и соответствующие вероятности обозначают p и q . Ясно, что p  0, q ³ 0 и p +q =1.

Пространство элементарных событий каждого испытания состоит из двух событий У и Н.

Пространство элементарных событий n испытаний Бернулли Ω содержит 2 n элементарных событий, представляющих собой последовательности (цепочки) из n символов У и Н. Каждое элементарное событие является одним из возможных исходов последовательности n испытаний Бернулли. Поскольку испытания независимы, то, по теореме умножения, вероятности перемножаются, то есть вероятность любой конкретной последовательности - есть произведение, полученное при замене символов У и Н на p и q соответственно, то есть, например: Р ( )={У У Н У Н... Н У }=p p q p q ... q q p .

Отметим, исход испытания Бернулли часто обозначают 1 и 0, и тогда элементарное событие в последовательности n испытаний Бернулли - есть цепочка, состоящая из нолей и единиц. Например:  =(1, 0, 0, ... , 1, 1, 0).

Испытания Бернулли представляют собой важнейшую схему, рассматриваемую в теории вероятностей. Эта схема названа в честь швейцарского математика Я. Бернулли (1654-1705), в своих работах глубоко исследовавших эту модель.

Основная задача, которая нас будет здесь интересовать: какова вероятность того события, что в n испытаниях Бернулли произошло m успехов?

При выполнении указанных условий вероятность того, что при проведении независимых испытаний событиебудет наблюдаться ровноm раз (неважно, в каких именно опытах), определяется по формуле Бернулли :

(21.1)

где - вероятность появленияв каждом испытании, а
- вероятность того, что в данном опыте событиене произошло.

Если рассматривать P n (m) как функцию m , то она задает распределение вероятностей, которое называется биномиальным. Исследуем эту зависимость P n (m) от m , 0£m £n .

События B m (m = 0, 1, ..., n ), состоящие в различном числе появлений события А в n испытаниях, несовместны и образуют полную группу. Следовательно,
.

Рассмотрим соотношение:

=
=
=
.

Отсюда следует, что P n (m+1 )>P n (m), если (n - m)p > (m+1)q , т.е. функция P n (m ) возрастает, если m < np - q . Аналогично, P n (m+1) < P n (m), если (n - m)p < (m+1)q , т.е. P n (m) убывает, если m > np - q .

Таким образом, существует число m 0 ,при котором P n (m) достигает наибольшего значения. Найдем m 0 .

По смыслу числа m 0 имеем P n (m 0)³P n (m 0 -1) и P n (m 0) ³P n (m 0 +1), отсюда

, (21.2)

. (21.3)

Решая неравенства (21.2) и (21.3) относительно m 0 , получаем:

p / m 0 ³ q /(n - m 0 +1) Þ m 0 £ np + p ,

q /(n - m 0 ) ³ p /(m 0 +1) Þ m 0 ³ np - q .

Итак, искомое число m 0 удовлетворяет неравенствам

np - q £ m 0 £np+p. (21.4)

Так как p +q =1, то длина интервала, определяемого неравенством (21.4), равна единице и имеется, по крайней мере, одно целое число m 0 , удовлетворяющее неравенствам (21.4):

1) если np - q - целое число, то существуют два значения m 0 , а именно: m 0 = np - q и m 0 = np - q + 1 = np + p ;

2) если np - q - дробное, то существует одно число m 0 , а именно единственное целое, заключенное между дробными числами, полученными из неравенства (21.4);

3) если np - целое число, то существует одно число m 0 , а именно m 0 = np .

Число m 0 называется наиболее вероятным или наивероятнейшим значением (числом) появления события A в серии из n независимых испытаний.

Пусть производится независимых испытаний, в каждом из которых вероятность появления событияА равна р . Другими словами, пусть имеет место схема Бернулли. Можно ли предвидеть какова будет примерно относительная частота появлений события? Положительный ответ на этот вопрос даёт теорема, доказанная Я.Бернулли 1 , которая получила название «закона больших чисел» и положила начало теории вероятностей как науки 2 .

ТЕОРЕМА Бернулли : Если в каждом из независимых испытаний, проводимых в одинаковых условиях, вероятностьр появления события А постоянна, то относительная частота появления события А сходится по вероятности к вероятности р – появления данного события в отдельном опыте, то есть

.

Доказательство . Итак, имеет место схема Бернулли,
. Обозначим через
дискретную случайную величину – число появлений событияА в -ом испытании. Ясно, что каждая из случайных величин может принимать лишь два значения:1 (событие А наступило) с вероятностью р и 0 (событие А не наступило) с вероятностью
, то есть

( )
Р	р

Нетрудно найти

Можно ли применить к рассматриваемым величинам теорему Чебышева? Можно, если случайные величины попарно независимы и дисперсии их равномерно ограничены. Оба условия выполняются. Действительно, попарная независимость величин
следует из того, что испытания независимы. Далее 3
при
и, следовательно, дисперсии всех величин ограничены, например числом
. Кроме того, заметим, что каждая из случайных величин
при появлении событияА в соответствующем испытании принимает значение, равное единице. Следовательно, сумма
равна числу
- появлений событияА в испытаниях, а значит

,

то есть дробь
равна относительной частотепоявлений события А в испытаниях.

Тогда, применяя теорему Чебышева к рассматриваемым величинам, получим:

что и требовалось доказать.

Замечание 1 : Теорема Бернулли является простейшим частным случаем теоремы Чебышева.

Замечание 2 : На практике часто неизвестные вероятности приходится приближённо определять из опыта, то для проверки согласия теоремы Бернулли с опытом было проведено большое число опытов. Так, например, французский естествоиспытатель XVIII века Бюффон бросил монету 4040 раз. Герб выпал при этом 2048 раз. Частота появления герба в опыте Бюффона приближённо равна 0,507. Английский статистик К.Пирсон бросал монету 12 000 раз и при этом наблюдал 6019 выпадений герба. Частота выпадения герба в этом опыте Пирсона равна 0,5016. В другой раз он бросил монету 24 000 раз, и герб при этом выпал 12 012 раз; частота выпадения герба при этом оказалась равной 0,5005. Как видим, во всех приведённых опытах частота лишь немного уклонилась от вероятности 0,5 – появления герба в результате одного бросания монеты.

Замечание 3 : Было бы неправильным на основании теоремы Бернулли сделать вывод, что с ростом числа испытаний относительная частота неуклонно стремится к вероятности р ; другими словами, из теоремы Бернулли не вытекает равенство
. В теоремеречь идёт лишь о вероятности того, что при достаточно большом числе испытаний относительная частота будет как угодно мало отличаться от постоянной вероятности появления события в каждом испытании. Таким образом, сходимость относительной частоты к вероятности р отличается от сходимости в смысле обычного анализа. Для того чтобы подчеркнуть это различие, вводят понятие «сходимости по вероятности» . Точнее, различие между указанными видами сходимости состоит в следующем: если стремится при
кр как пределу в смысле обычного анализа , то, начиная с некоторого
и для всех последующих значений, неуклонно выполняется неравенство
;если же стремится по вероятности к р при
, то для отдельных значенийнеравенство может и не выполняться.

Теоремы Пуассона и Маркова

Замечено, если условия опыта меняются , то свойство устойчивости относительной частоты появления события А сохраняется. Это обстоятельство доказано Пуассоном.

ТЕОРЕМА Пуассона : При неограниченном увеличении числа независимых испытаний, проводимых в переменных условиях, относительная частота появления события А сходится по вероятности к среднему арифметическому вероятностей появления данного события в каждом из опытов, то есть

.

Замечание 4 : Нетрудно убедиться, что теорема Пуассона является частным случаем теоремы Чебышева.

ТЕОРЕМА Маркова : Если последовательность случайных величин
(как угодно зависимых) такова, что при

,

то,
выполняется условие:
.

Замечание 5 : Очевидно, если случайные величин
попарно независимы, то условие Маркова принимает вид: при

.

Отсюда видно, что теорема Чебышева является частным случаем теоремы Маркова.

Центральная предельная теорема (Теорема Ляпунова)

Рассмотренные теоремы закона больших чисел касаются вопросов приближения некоторых случайных величин к определённым предельным значениям независимо от их закона распределения. В теории вероятностей, как уже отмечалось, существует другая группа теорем, касающихся предельных законов распределения суммы случайных величин. Общее название этой группы теорем – центральная предельная терема . Различные её формы различаются условиями, накладываемыми на сумму составляющих случайных величин. Впервые одна из форм центральной предельной теоремы была доказана выдающимся русским математиком А.М.Ляпуновым в 1900 году с использованием специально разработанного им метода характеристических функций.

ТЕОРЕМА Ляпунова : Закон распределения суммы независимых случайных величин
приближается к нормальному закону распределения при неограниченном увеличении(то есть, при
), если выполняются следующие условия:

,

Следует отметить, что центральная предельная теорема справедлива не только для непрерывных, но и для дискретных случайных величин. Практическое значение теоремы Ляпунова огромно. Опыт показывает, что закон распределения суммы независимых случайных величин, сравнимых по своему рассеиванию, достаточно быстро приближается к нормальному. Уже при числе слагаемых порядка десяти закон распределения суммы можно заменить на нормальный (в частности, примером такой суммы может быть среднее арифметическое наблюдаемых значений случайных величин, то есть
).

Частным случаем центральной предельной теоремы является теорема Лапласа. В ней, как вы помните, рассматривается случай, когда случайные величины
дискретны, одинаково распределены и принимают только два возможных значения: 0 и 1.

Далее, вероятность того, что заключено в интервале
можно вычислить по формуле

.

Используя функцию Лапласа, последнюю формулу можно записать в удобном для расчётов виде:

где
.

ПРИМЕР . Пусть производится измерение некоторой физической величины. Любое измерение даёт лишь приближённое значение измеряемой величины, так как на результат измерения оказывают влияние очень многие независимые случайные факторы (температура, колебания прибора, влажность и др.). Каждый из этих факторов порождает ничтожную «частную ошибку». Однако, поскольку число этих факторов очень велико, совокупное их действие порождает уже заметную «суммарную ошибку».

Рассматривая суммарную ошибку как сумму очень большого числа взаимно независимых частных ошибок, мы вправе заключить, что суммарная ошибка имеет распределение, близкое к нормальному. Опыт подтверждает справедливость такого заключения.

2 Доказательство, предложенное Я.Бернулли, было сложным; более простое доказательство было дано П.Чебышевым в 1846 году.

3 Известно, что произведение двух сомножителей, сумма которых есть величина постоянная, имеет наибольшее значение при равенстве сомножителей.

При решении вероятностных задач часто приходится сталкиваться с ситуациями, в которых одно и тоже испытание повторяется многократно и исход каждого испытания независим от исходов других. Такой эксперимент еще называется схемой повторных независимых испытаний или схемой Бернулли .

Примеры повторных испытаний:

1) многократное извлечение из урны одного шара при условии, что вынутый шар после регистрации его цвета кладется обратно в урну;

2) повторение одним стрелком выстрелов по одной и той же мишени при условии, что вероятность удачного попадания при каждом выстреле принимается одинаковой (роль пристрелки не учитывается).

Итак, пусть в результате испытания возможны два исхода : либо появится событие А , либо противоположное ему событие. Проведем n испытаний Бернулли. Это означает, что все n испытаний независимы; вероятность появления события $А$ в каждом отдельно взятом или единичном испытании постоянна и от испытания к испытанию не изменяется (т.е. испытания проводятся в одинаковых условиях). Обозначим вероятность появления события $А$ в единичном испытании буквой $р$, т.е. $p=P(A)$, а вероятность противоположного события (событие $А$ не наступило) - буквой $q=P(\overline{A})=1-p$.

Тогда вероятность того, что событие А появится в этих n испытаниях ровно k раз, выражается формулой Бернулли

$$P_n(k)=C_n^k \cdot p^k \cdot q^{n-k}, \quad q=1-p.$$

Распределение числа успехов (появлений события) носит название биномиального распределения .

Онлайн-калькуляторы на формулу Бернулли

Некоторые наиболее популярные типы задач, в которых используется формула Бернулли, разобраны в статьях и снабжены онлайн-калькулятором, вы можете перейти к ним по ссылкам:

Примеры решений задач на формулу Бернулли

Пример. В урне 20 белых и 10 черных шаров. Вынули 4 шара, причем каждый вынутый шар возвращают в урну перед извлечением следующего и шары в урне перемешивают. Найти вероятность того, что из четырех вынутых шаров окажется 2 белых.

Решение. Событие А – достали белый шар. Тогда вероятности
, .
По формуле Бернулли требуемая вероятность равна
.

Пример. Определить вероятность того, что в семье, имеющей 5 детей, будет не больше трех девочек. Вероятности рождения мальчика и девочки предполагаются одинаковыми.

Решение. Вероятность рождения девочки
, тогда .

Найдем вероятности того, что в семье нет девочек, родилась одна, две или три девочки:

, ,

, .

Следовательно, искомая вероятность

.

Пример. Среди деталей, обрабатываемых рабочим, бывает в среднем 4% нестандартных. Найти вероятность того, что среди взятых на испытание 30 деталей две будут нестандартными.

Решение. Здесь опыт заключается в проверке каждой из 30 деталей на качество. Событие А - «появление нестандартной детали», его вероятность , тогда . Отсюда по формуле Бернулли находим
.

Пример. При каждом отдельном выстреле из орудия вероятность поражения цели равна 0,9. Найти вероятность того, что из 20 выстрелов число удачных будет не менее 16 и не более 19.

Решение. Вычисляем по формуле Бернулли:

Пример. Независимые испытания продолжаются до тех пор, пока событие А не произойдет k раз. Найти вероятность того, что потребуется n испытаний (n ³ k), если в каждом из них .

Решение. Событие В – ровно n испытаний до k -го появления события А – есть произведение двух следующий событий:

D – в n -ом испытании А произошло;

С – в первых (n–1) -ом испытаниях А появилось (к-1) раз.