bleat.ru → Болезни ЖКТ

Основные законы и формулы по теоретической механике. Решение примеров

государственное автономное учреждение

Калининградской области

профессиональная образовательная организация

Колледж сервиса и туризма

Курс лекций с примерами практических заданий

«Основы теоретической механики»

по дисциплине Техническая механика

для студентов 3 курса

специальности 20.02.04 Пожарная безопасность

Калининград

УТВЕРЖДАЮ

Заместитель директора по УР ГАУ КО ПОО КСТН.Н. Мясникова

ОДОБРЕНО

Методическим советом ГАУ КО ПОО КСТ

РАССМОТРЕНО

На заседании ПЦК

Редакционная коллегия:

Колганова А.А., методист

Фалалеева А.Б., преподаватель русского языка и литературы

Цветаева Л.В.., председатель ПЦК общематематических и естественнонаучных дисциплин

Составитель:

Незванова И.В. преподаватель ГАУ КО ПОО КСТ

Содержание

Динамика: основные понятия и аксиомы

Список литературы

Статика: основные понятия и аксиомы.

Теоретические сведения

Статика – раздел теоретической механики, в котором рассматривают свойства сил, приложенных к точкам твердого тела, и условия их равновесия. Основные задачи:

1. Преобразования систем сил в эквивалентные системы сил.

2. Определение условий равновесия систем сил, действующих на твердое тело.

Материальной точкой называют простейшую модель материального тела

любой формы, размеры которого достаточно малы и которое можно принять за геометрическую точку, имеющую определенную массу. Механической системой называется любая совокупность материальных точек. Абсолютно твёрдым телом называют механическую систему, расстояния, между точками которой не изменяются при любых взаимодействиях.

Сила – это мера механического взаимодействия материальных тел между собой. Сила – величина векторная, так как она определяется тремя элементами:

численным значением;

направлением;

точкой приложения (А).

Единица измерения силы – Ньютон(Н).

Рисунок 1.1

Система сил – это совокупность сил, действующих на какое – либо тело.

Уравновешенной (равной нулю) системой сил называется, такая система, которая будучи, приложенной к телу, не изменяет его состояния.

Систему сил, действующих на тело, можно заменить одной равнодействующей, действующей так, как система сил.

Аксиомы статики.

Аксиома 1: Если к телу приложена уравновешенная система сил, то оно движется равномерно и прямолинейно или находится в состоянии покоя (закон инерции).

Аксиома 2: Абсолютно твердое тело находится в равновесии под действием двух сил тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю, действуют по одной прямой и направлены в противоположные стороны. Рисунок 1.2

Аксиома 3: Механическое состояние тела не нарушится, если к действующей на него системе сил добавить или от неё отнять уравновешенную систему сил.

Аксиома 4: Равнодействующая двух приложенных к телу сил равна их геометрической сумме, то есть выражается по модулю и направлению диагональю параллелограмма, построенного на этих силах как на сторонах.

Рисунок 1.3.

Аксиома 5: Силы, с которыми действуют друг на друга два тела, всегда равны по модулю и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны.

Рисунок 1.4.

Виды связей и их реакции

Связями называются любые ограничения, препятствующие перемещению тела в пространстве. Тело, стремясь под действием приложенных сил осуществить перемещение, которому препятствует связь, будет действовать на нее с некоторой силой, называемой силой давления на связь . По закону о равенстве действия и противодействия, связь будет действовать на тело с такой же по модулю, но противоположно направленной силой.
Сила, с которой данная связь действует на тело, препятствуя тем или иным перемещениям, называется силой реакции (реакцией) связи .
Одним из основных положений механики является принцип освобождаемости от связей : всякое несвободное тело можно рассматривать как свободное, если отбросить связи и заменить их действие реакциями связей.

Реакция связи направлена в сторону, противоположную той, куда связь не дает перемещаться телу. Основные виды связей и их реакции приведены в таблице 1.1.

Таблица 1.1

Виды связей и их реакции

Наименование связи

Условное обозначение

Гладкая поверхность (опора) – поверхность (опора), трением о которую данного тела можно пренебречь.
При свободном опирании реакция направляется перпендикулярно касательной, проведенной через точку А контакта тела 1 с опорной поверхностью 2 .

Нить (гибкая, нерастяжимая). Связь, осуществлённая в виде нерастяжимой нити, не позволяет телу удаляться от точки подвеса. Поэтому реакция нити направлена вдоль нити к точке её подвеса.

Невесомый стержень – стержень, весом которого по сравнению с воспринимаемой нагрузкой можно пренебречь.
Реакция невесомого шарнирно прикрепленного прямолинейного стержня направлена вдоль оси стержня.

Подвижный шарнир, шарнирно-подвижная опора. Реакция направлена по нормали к опорной поверхности.

Жесткая заделка. В плоскости жесткой заделки будут две составляющие реакции , и момент пары сил , который препятствует повороту балки 1 относительно точки А .
Жесткая заделка в пространстве отнимает у тела 1 все шесть степеней свободы – три перемещения вдоль осей координат и три поворота относительно этих осей.
В пространственной жесткой заделке будут три составляющие , , и три момента пар сил .

Система сходящихся сил

Системой сходящихся сил называется система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке. Две силы, сходящиеся в одной точке, согласно третьей аксиоме статики можно заменить одной силой – равнодействующей .
Главный вектор системы сил – величина, равная геометрической сумме сил системы.

Равнодействующую плоской системы сходящихся сил можно определить графически и аналитически .

Сложение системы сил . Сложение плоской системы сходящихся сил осуществляется либо путём последовательного сложения сил с построением промежуточной равнодействующей (рис. 1.5), либо путём построения силового многоугольника (рис. 1.6).

Рисунок 1.5Рисунок 1.6

Проекция силы на ось – алгебраическая величина, равная произведению модуля силы на косинус угла между силой и положительным направлением оси.
Проекция F x (рис.1.7) силы на ось х положительна, если угол α острый, отрицательна - если угол α тупой. Если сила перпендикулярна оси, то ее проекция на ось равна нулю.

Рисунок 1.7

Проекция силы на плоскость Оху – вектор , заключенный между проекциями начала и конца силы на эту плоскость. Т.е. проекция силы на плоскость величина векторная, характеризуется не только числовым значением, но и направлением в плоскости Оху (рис.1.8).

Рисунок 1.8

Тогда модуль проекции на плоскость Оху будет равен:

F xy = F cosα,

где α - угол между направлением силы и ее проекцией .
Аналитический способ задания сил . Для аналитического способа задания силы необходимо выбрать систему координатных осей Охуz , по отношению к которой будет определяться направление силы в пространстве.
Вектор, изображающий силу , можно построить, если известны модуль этой силы и углы α, β, γ, которые сила образует с координатными осями. Точка А приложения силы задается отдельно своими координатами х , у , z . Можно задавать силу ее проекциями Fx , Fy , Fz на координатные оси. Модуль силы в этом случае определится по формуле:

а направляющие косинусы:

, .

Аналитический способ сложения сил : проекция вектора суммы на какую нибудь ось равна алгебраической сумме проекций слагаемых векторов на ту же ось, т.е., если:

то , , .
Зная Rx, Ry, Rz , можем определить модуль

и направляющие косинусы:

, , .

Рисунок 1.9

Для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы равнодействующая этих сил была равна нулю.
1) Геометрическое условие равновесия сходящейся системы сил : для равновесия системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы силовой многоугольник, построенный из этих сил,

был замкнут (конец вектора последней слагаемой

силы должен совместиться с началом вектора первой слагаемой силы). Тогда главный вектор системы сил будет равен нулю ()
2) Аналитические условия равновесия . Модуль главного вектора системы сил определяется по формуле . =0. Поскольку , то подкоренное выражение может быть равно нулю только в том случае, если каждое слагаемое одновременно обращается в нуль, т.е.

Rx = 0, Ry = 0, R z = 0.

Следовательно, для равновесия пространственной системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций этих сил на каждую из трёх координат осей были равны нулю:

Для равновесия плоской системы сходящихся сил необходимо и достаточно, чтобы суммы проекций сил на каждую из двух координатных осей были равны нулю:

Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону.

Рисунок 1.9

Две параллельные силы, направленные в одну сторону, приводятся к одной равнодействующей силе, им параллельной и направленной в ту же сторону. Величина равнодействующей равна сумме величин данных сил, а точка ее приложения С делит расстояние между линиями действия сил внутренним образом на части, обратно пропорциональные величинам этих сил, то есть

B A C

R=F 1 +F 2

Сложение двух не равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны.

Две не равные по величине антипараллельные силы приводятся к одной равнодействующей силе им параллельной и направленной в сторону большей силы. Величина равнодействующей равна разности величин данных сил, а точка ее приложения С, делит расстояние между линиями действия сил внешним образом на части, обратно пропорциональные величинам этих сил, то есть

Пара сил и момент силы относительно точки.

Моментом силы относительно точки О называется, взятое с соответствующим знаком, произведение величины силы на расстояние h от точки О до линии действия силы . Это произведение берётся со знаком плюс, если сила стремится вращать тело против хода часовой стрелки, и со знаком -, если сила стремится вращать тело по ходу часовой стрелки, то есть . Длина перпендикуляра h называется плечом силы точки О. Эффект действия силы т.е. угловое ускорение тела больше, чем больше величина момента силы.

Рисунок 1.11

Парой сил называется система, состоящая из двух равных по величине параллельных сил, направленных в противоположные стороны. Расстояние h между линиями действия сил называется плечом пары . Моментом пары сил m(F,F") называется взятое с соответствующим знаком произведение величины одной из сил, составляющих пару на плечо пары.

Записывается это так: m(F, F")= ± F × h , где произведение берется со знаком плюс, если пара сил стремится вращать тело против хода часовой стрелки и со знаком минус, если пара сил стремится вращать тело по ходу часовой стрелки.

Теорема о сумме моментов сил пары.

Сумма моментов сил пары (F,F") относительно любой точки 0, взятой в плоскости действия пары, не зависит от выбора этой точки и равна моменту пары.

Теорема об эквивалентных парах. Следствия.

Теорема. Две пары, моменты которых равны между собой, эквивалентны, т.е. (F, F") ~ (P,P")

Следствие 1 . Пару сил можно переносить в любое место плоскости ее действия, а также поворачивать на любой угол и изменять плечо и величину сил пары, сохраняя при этом момент пары.

Следствие 2. Пара сил не имеет равнодействующей и не может быть уравновешена одной силой, лежащей в плоскости пары.

Рисунок 1.12

Сложение и условие равновесия системы пар на плоскости.

1. Теорема о сложении пар, лежащих в одной плоскости. Систему пар, как угодно расположенных в одной плоскости, можно заменить одной парой, момент которой равен сумме моментов данных пар.

2. Теорема о равновесии системы пар на плоскости.

Для того, чтобы абсолютно твердое тело находилось в состоянии покоя под действием системы пар, как угодно расположенных в одной плоскости, необходимо и достаточно, чтобы сумма моментов всех пар была равна нулю, то есть

Центр тяжести

Сила тяжести – равнодействующая сил притяжения к Земле, распределённых по всему объему тела.

Центр тяжести тела – это такая неизменно связанная с этим телом точка, через которую проходит линия действия силы тяжести данного тела при любом положении тела в пространстве.

Методы нахождения центра тяжести

1. Метод симметрии:

1.1. Если однородное тело имеет плоскость симметрии, то центр тяжести лежит в этой плоскости

1.2. Если однородное тело имеет ось симметрии, то центр тяжести лежит на этой оси. Центр тяжести однородного тела вращения лежит на оси вращения.

1.3 Если однородное тело имеет две оси симметрии, то центр тяжести находится в точке их пересечения.

2. Метод разбиения: Тело разбивается на наименьшее число частей, силы тяжести и положение центров тяжести которых известны.

3. Метод отрицательных масс: При определении центра тяжести тела, имеющего свободные полости, следует применять метод разбиения, но массу свободных полостей считать отрицательной.

Координаты центра тяжести плоской фигуры:

Положения центров тяжести простых геометрических фигур могут быть рассчитаны по известным формулам. (рисунок 1.13)

Примечание: Центр тяжести симметрии фигуры находится на оси симметрии.

Центр тяжести стержня находится на середине высоты.

1.2. Примеры решения практических задач

Пример 1: Груз подвешен на стержне и находится в равновесии. Определить усилия в стержне. (рисунок 1.2.1)

Решение:

Усилия, возникающие в стержнях крепления, по величине равны силам, с которыми стержни поддерживают груз. (5-я аксиома)

Определяем возможные направления реакций связей «жесткие стержни».

Усилия направлены вдоль стержней.

Рисунок 1.2.1.

Освободим точку А от связей, заменив действие связей их реакциями. (рисунок 1.2.2)

Построение начнём с известной силы, вычертив вектор F в некотором масштабе.

Из конца вектора F проводим линии, параллельные реакциям R 1 и R 2 .

Рисунок 1.2.2

Пересекаясь, линии создают треугольник. (рисунок 1.2.3.). Зная масштаб построений и измерив длину сторон треугольника, можно определить величину реакций в стержнях.

Для более точных расчётов можно воспользоваться геометрическими соотношениями, в частности теоремой синусов: отношение стороны треугольника к синусу противоположного угла – величина постоянная

Для данного случая:

Рисунок 1.2.3

Замечание: Если направление вектора (реакции связи) на заданной схеме и в треугольнике сил не совпало, значит, реакция на схеме должна быть направлена в противоположную сторону.

Пример 2: Определить величину и направление равнодействующей плоской системы сходящихся сил аналитическим способом.

Решение:

Рисунок 1.2.4

1. Определяем проекции всех сил системы на Ох (рисунок 1.2.4)

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Ох.

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена влево.

2. Определяем проекции всех сил на ось Оу:

Сложив алгебраически проекции, получим проекцию равнодействующей на ось Оу.

Знак говорит о том, что равнодействующая направлена вниз.

3. Определяем модуль равнодействующей по величинам проекций:

4. Определим значение угла равнодействующей с осью Ох:

и значение угла с осью Оу:

Пример 3: Расчитать сумму моментов сил относительно точки О (рисунок 1.2.6).

ОА = АВ = В D=DE=CB=2 м

Рисунок 1.2.6

Решение:

1. Момент силы относительно точки численно равен произведению модуля на плечо силы.

2. Момент силы равен нулю, если линия действия силы проходит через точку.

Пример 4: Определить положение центра тяжести фигуры, представленной на рисунке 1.2.7

Решение:

Разбиваем фигуру на три:

1-прямоугольник

А 1 =10*20=200см 2

2-треугольник

А 2 =1/2*10*15=75см 2

3-круг

А 3 =3,14*3 2 =28,3см 2

ЦТ фигуры 1: х 1 =10см, у 1 =5см

ЦТ фигуры 2: х 2 =20+1/3*15=25см, у 2 =1/3*10=3,3см

ЦТ фигуры 3: х 3 =10см, у 3 =5см

Аналогично определяется у с =4,5см

Кинематика: основные понятия.

Основные кинематические параметры

Траектория - линия, которую очерчивает материальная точка при движении в пространстве. Траектория может быть прямой и кривой, плоской и пространственной линией.

Уравнение траектории при плоском движении: у = f ( x )

Пройденный путь. Путь измеряется вдоль траектории в направлении движения. Обозначение - S , единицы измерения - метры.

Уравнение движения точки –это уравнение, определяющее положение движущейся точки в зависимости от времени.

Рисунок 2.1

Положение точки в каждый момент времени можно определить по расстоянию, пройденному вдоль траектории от некоторой неподвижной точки, рассматриваемой как начало отсчета (рисунок 2.1). Такой способ задания движения называется естественным . Таким образом, уравнение движения можно представить в виде S = f (t).

Рисунок 2.2

Положение точки можно также определить, если известны ее координаты в зависимости от времени (рисунок 2.2). Тогда в случае движения на плоскости должны быть заданы два уравнения:

В случае пространственного движения добавляется и третья координата z = f 3 ( t )

Такой способ задания движения называют координатным .

Скорость движения – это векторная величина, характеризующая в данный момент быстроту и направление движения по траектории.

Скорость - вектор, в любой момент направленный по касательной к траектории в сторону направления движения (рисунок 2.3).

Рисунок 2.3

Если точка за равные промежутки времени проходит равные расстояния, то движение называют равномерным .

Средняя скорость на пути Δ S определяется:

где ΔS - пройденный путь за время Δ t ; Δ t - промежуток времени.

Если точка за равные промежутки времени проходит неравные пути, то движение называют неравномерным . В этом случае скорость - величина переменная и зависит от времени v = f ( t )

Скорость в данный момент определяют как

Ускорение точки - векторная величина, характеризующая быстроту изменения скорости по величине и направлению.

Скорость точки при перемещении из точки М1 в точку Мг меняется по величине и направлению. Среднее значение ускорения за этот промежуток времени

Ускорение в данный момент:

Обычно для удобства рассматривают две взаимно перпендикулярные составляющие ускорения: нормальное и касательное (рисунок 2.4)

Нормальное ускорение а n , характеризует изменение скорости по

направлению и определяется как

Нормальное ускорение всегда направлено перпендикулярно скорости к центру дуги.

Рисунок 2.4

Касательное ускорение а t , характеризует изменение скорости по величине и всегда направлено по касательной к траектории; при ускорении его направление совпадает с направлением скорости, а при замедлении оно направлено противоположно направлению вектора скорости.

Значение полного ускорения определяется, как:

Анализ видов и кинематических параметров движений

Равномерное движение – это движение с постоянной скоростью:

Для прямолинейного равномерного движения:

Для криволинейного равномерного движения:

Закон равномерного движения :

Равнопеременное движение – это движение с постоянным касательным ускорением:

Для прямолинейного равнопеременного движения

Для криволинейного равнопеременного движения:

Закон равнопеременного движения:

Кинематические графики

Кинематические графики – это графики изменения пути, скорости и ускорений в зависимости от времени.

Равномерное движение (рисунок 2.5)

Рисунок 2.5

Равнопеременное движение (рисунок 2.6)

Рисунок 2.6

Простейшие движения твёрдого тела

Поступательным движением называют движение твёрдого тела, при котором всякая прямая линия на теле при движении остаётся параллельной своему начальному положению (рисунок 2.7)

Рисунок 2.7

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково: скорости и ускорения в каждый момент одинаковы.

При вращательном движении все точки тела описывают окружности вокруг общей неподвижной оси.

Неподвижная ось, вокруг которой вращаются все точки тела, называют осью вращения.

Для описания вращательного движения тела вокруг неподвижной оси можно использовать только угловые параметры. (рисунок 2.8)

φ – угол поворота тела;

ω – угловая скорость, определяет изменение угла поворота в единицу времени;

Изменение угловой скорости во времени определяется угловым ускорением:

2.2. Примеры решения практических задач

Пример 1: Дано уравнение движения точки. Определить скорость точки в конце третьей секунды движения и среднюю скорость за первые три секунды.

Решение:

1. Уравнение скорости

2. Скорость в конце третьей секунды (t =3 c )

3. Средняя скорость

Пример 2: По заданному закону движения определить вид движения, начальную скорость и касательное ускорение точки, время до остановки.

Решение:

1. Вид движения: равнопеременное ()
2. При сравнении уравнений очевидно, что

- начальный путь, пройденный до начала отсчёта 10м;

- начальная скорость 20м/с

- постоянное касательное ускорение

- ускорение отрицательное, следовательно, движение замедленное, ускорение направлено в сторону противоположную скорости движения.

3. Можно определить время, при котором скорость точки будет равна нулю.

3.Динамика: основные понятия и аксиомы

Динамика – раздел теоретической механики, в котором устанавливается связь между движение тел и действующими на них силами.

В динамике решают два типа задач:

определяют параметры движения по заданным силам;

определяют силы, действующие на тело, по заданным кинематическим параметрам движения.

Под материальной точкой подразумевают некое тело, имеющее определенную массу (т. е. содержащее некоторое количество материи), но не имеющее линейных размеров (бесконечно малый объем пространства).
Изолированной считается материальная точка, на которую не оказывают действие другие материальные точки. В реальном мире изолированных материальных точек, как и изолированных тел, не существует, это понятие является условным.

При поступательном движении все точки тела движутся одинаково, поэтому тело можно принять за материальную точку.

Если размеры тела малы по сравнению с траекторией, его тоже можно рассматривать как материальную точку, при этом точка совпадает с центром тяжести тела.

При вращательном движении тела точки могут двигаться не одинаково, в этом случае некоторые положения динамики можно применять только к отдельным точкам, а материальный объект рассматривать как совокупность материальных точек.

Поэтому динамику делят на динамику точки и динамику материальной системы.

Аксиомы динамики

Первая аксиома ( принцип инерции): в сякая изолированная материальная точка находится в состоянии покоя или равномерного и прямолинейного движения, пока приложенные силы не выведут ее из этого состояния.

Это состояние называют состоянием инерции. Вывести точку из этого состояния, т.е. сообщить ей некоторое ускорение, может внешняя сила.

Всякое тело (точка) обладает инертностью. Мерой инертности является масса тела.

Массой называют количество вещества в объеме тела, в классической механике ее считают величиной постоянной. Единица измерения массы - килограмм (кг).

Вторая аксиома (второй закон Ньютона - основной закон динамики)

F=ma

где т - масса точки, кг; а - ускорение точки, м/с 2 .

Ускорение, сообщенное материальной точке силой, пропорционально величине силы и совпадает с направлением силы.

На все тела на Земле действует сила тяжести, она сообщает телу ускорение свободного падения, направленное к центру Земли:

G = mg,

где g - 9,81 м/с² , ускорение свободного падения.

Третья аксиома (третий закон Ньютона): с илы взаимодействия двух тел равны по величине и направлены по одной прямой в разные стороны .

При взаимодействии ускорения обратно пропорциональны массам.

Четвертая аксиома (закон независимости действия сил): к аждая сила системы сил действует так, как она действовала бы одна.

Ускорение, сообщаемое точке системой сил, равно геометрической сумме ускорений, сообщенных точке каждой силой в отдельности (рисунок 3.1):

Рисунок 3.1

Понятие о трении. Виды трения.

Трение- сопротивление возникающее при движении одного шероховатого тела по поверхности другого. При скольжении тел возникает трение скольжения, при качении – трение качания.

Трение скольжения

Рисунок 3.2.

Причина – механическое зацепление выступов. Сила сопротивления движению при скольжении называется силой трения скольжения (рисунок 3.2)

Законы трения скольжения:

1. Сила трения скольжения прямо пропорциональна силе нормального давления:

где R -сила нормального давления, направлена перпендикулярно опорной поверхности; f - коэффициент трения скольжения.

Рисунок 3.3.

В случае движения тела по наклонной плоскости (рисунок 3.3)

Трение качения

Сопротивление при качении связано с взаимной деформацией грунта и колеса и значительно меньше трения скольжения.

Для равномерного качения колеса необходимо прикладывать силу F дв (рисунок 3.4)

Условие качения колеса состоит в том, что движущийся момент должен быть не меньше момента сопротивления:

Рисунок 3.4.

Пример 1: Пример 2: К двум материальным точкам массой m 1 =2кг и m 2 = 5 кг приложены одинаковые силы. Сравните величины ускоренней.

Решение:

Согласно третей аксиоме динамики ускорения обратно пропорциональны массам:

Пример 3: Определите работу силы тяжести при перемещении груза из точки А в точку С по наклонной плоскости (рисунок 3. 7). Сила тяжести тела 1500Н. АВ= 6 м, ВС=4м. Пример 3: Определите работу силы резания за 3 мин. Скорость вращения детали 120 об/мин, диаметр обрабатываемой детали 40мм, сила резания 1кН. (рисунок 3.8)

Решение:

1. Работа при вращательном движении:

2. Угловая частота вращения 120 об/мин

Рисунок 3.8 .

3. Число оборотов за заданное время составляет z =120*3=360 об.

Угол поворота за это время φ=2π z =2*3,14*360=2261рад

4. Работа за 3 оборота: W =1*0,02*2261=45,2 кДж

Список литературы

Олофинская, В.П. « Техническая механика», Москва «Форум»2011г.

Эрдеди А.А. Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов.- Р-н-Д; Феникс, 2010

Просмотр: эта статья прочитана 32852 раз

Pdf Выберите язык... Русский Украинский Английский

Краткий обзор

Полностью материал скачивается выше, предварительно выбрав язык

Статика
- Основные понятия статики
- Виды сил
- Аксиомы статики
- Связи и их реакции
- Система сходящихся сил
  - Методы определения равнодействующей системы сходящихся сил
  - Условия равновесия системы сходящихся сил
- Момент силы относительно центра как вектор
  - Алгебраическая величина момента силы
  - Свойства момента силы относительно центра (точки)
- Теория пар сил
  - Сложение двух параллельных сил, направленных в одну сторону
  - Сложение двух параллельных сил, направленных в разные стороны
  - Пары сил
  - Теоремы о паре сил
  - Условия равновесия системы пар сил
- Рычаг
- Произвольная плоская система сил
  - Случаи приведения плоской системы сил к более простому виду
  - Аналитические условия равновесия
- Центр параллельных сил. Центр тяжести
  - Центр параллельных сил
  - Центр тяжести твердого тела и его координаты
  - Центр тяжести объема, плоскости и линии
  - Способы определения положения центра тяжести
Основы рачсетов на прочность
- Задачи и методы сопротивления материалов
- Классификация нагрузок
- Классификация элементов конструкций
- Деформации стержня
- Основные гипотезы и принципы
- Внутренние силы. Метод сечений
- Напряжения
- Растяжение и сжатие
- Механические характеристики материала
- Допускаемые напряжения
- Твердость материалов
- Эпюры продольных сил и напряжений
- Сдвиг
- Геометрические характеристики сечений
- Кручение
- Изгиб
  - Дифференциальные зависимости при изгибе
  - Прочность при изгибе
  - Нормальные напряжения. Расчет на прочность
  - Касательные напряжения при изгибе
  - Жесткость при изгибе
- Элементы общей теории напряженного состояния
- Теории прочности
- Изгиб с кручением
Кинематика
- Кинематика точки
  - Траектория движения точки
  - Способы задания движения точки
  - Скорость точки
  - Ускорение точки
- Кинематика твердого тела
  - Поступательное движение твердого тела
  - Вращательное движение твердого тела
  - Кинематика зубчатых механизмов
  - Плоскопараллельное движение твердого тела
- Сложное движение точки
Динамика
- Основные законы динамики
- Динамика точки
  - Дифференциальные уравнения свободной материальной точки
  - Две задачи динамики точки
- Динамика твердого тела
  - Классификация сил, действующих на механическую систему
  - Дифференциальные уравнения движения механической системы
- Общие теоремы динамики
  - Теорема о движении центра масс механической системы
  - Теорема об изменении количества движения
  - Теорема об изменении момента количества движения
  - Теорема об изменении кинетической энергии
Силы, действующие в машинах
- Силы в зацеплении прямозубой цилиндрической передачи
- Трение в механизмах и машинах
  - Трение скольжения
  - Трение качения
- Коэффициент полезного действия
Детали машин
- Механические передачи
  - Типы механических передач
  - Основные и производные параметры механические передач
  - Зубчатые передачи
  - Передачи с гибкими звеньями
- Валы
  - Назначение и классификация
  - Проектный расчет
  - Проверочный расчет валов
- Подшипники
  - Подшипники скольжения
  - Подшипники качения
- Соединение деталей машин
  - Виды разъемных и неразъемных соединений
  - Шпоночные соединения
Стандартизация норм, взаимозаменяемость
- Допуски и посадки
- Единая система допусков и посадок (ЕСДП)
- Отклонение формы и располож

Формат: pdf

Размер: 4МВ

Язык: русский

Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи
Пример расчета прямозубой цилиндрической передачи. Выполнен выбор материала, расчет допускаемых напряжений, расчет на контактную и изгибную прочность.

Пример решения задачи на изгиб балки
В примере построены эпюры поперечных сил и изгибающих моментов, найдено опасное сечение и подобран двутавр. В задаче проанализировано построение эпюр с помощью дифференциальных зависимостей, провелен сравнительный анализ различных поперечных сечений балки.

Пример решения задачи на кручение вала
Задача состоит в проверке прочности стального вала при заданном диаметре, материале и допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры крутящих моментов, касательных напряжений и углов закручивания. Собственный вес вала не учитывается

Пример решения задачи на растяжение-сжатие стержня
Задача состоит в проверке прочности стального стержня при заданных допускаемых напряжениях. В ходе решения строятся эпюры продольных сил, нормальных напряжений и перемещений. Собственный вес стержня не учитывается

Применение теоремы о сохранении кинетической энергии
Пример решения задачи на применение теоремы о сохранение кинетической энергии механической системы

Определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения
Пример решение задачи на определение скорости и ускорения точки по заданным уравнениям движения

Определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении
Пример решения задачи на определение скоростей и ускорений точек твердого тела при плоскопараллельном движении

Определение усилий в стержнях плоской фермы
Пример решения задачи на определение усилий в стержнях плоской фермы методом Риттера и методом вырезания узлов

Теоретическая механика – это раздел механики, в котором излагаются основные законы механического движения и механического взаимодействия материальных тел.

Теоретическая механика является наукой, в которой изучаются перемещения тел с течением времени (механические движения). Она служит базой других разделов механики (теория упругости, сопротивление материалов, теория пластичности, теория механизмов и машин, гидроаэродинамика) и многих технических дисциплин.

Механическое движение — это изменение с течением времени взаимного положения в пространстве материальных тел.

Механическое взаимодействие – это такое взаимодействие, в результате которого изменяется механическое движение или изменяется взаимное положение частей тела.

Статика твердого тела

Статика — это раздел теоретической механики, в котором рассматриваются задачи на равновесие твердых тел и преобразования одной системы сил в другую, ей эквивалентную.

Основные понятия и законы статики

Абсолютно твердое тело (твердое тело, тело) – это материальное тело, расстояние между любыми точками в котором не изменяется.
Материальная точка – это тело, размерами которого по условиям задачи можно пренебречь.
Свободное тело – это тело, на перемещение которого не наложено никаких ограничений.
Несвободное (связанное) тело – это тело, на перемещение которого наложены ограничения.
Связи – это тела, препятствующие перемещению рассматриваемого объекта (тела или системы тел).
Реакция связи — это сила, характеризующая действие связи на твердое тело. Если считать силу, с которой твердое тело действует на связь, действием, то реакция связи является противодействием. При этом сила - действие приложена к связи, а реакция связи приложена к твердому телу.
Механическая система – это совокупность взаимосвязанных между собой тел или материальных точек.
Твердое тело можно рассматривать как механическую систему, положения и расстояние между точками которой не изменяются.
Сила – это векторная величина, характеризующая механическое действие одного материального тела на другое.
Сила как вектор характеризуется точкой приложения, направлением действия и абсолютным значением. Единица измерения модуля силы – Ньютон.
Линия действия силы – это прямая, вдоль которой направлен вектор силы.
Сосредоточенная сила – сила, приложенная в одной точке.
Распределенные силы (распределенная нагрузка) – это силы, действующие на все точки объема, поверхности или длины тела.
Распределенная нагрузка задается силой, действующей на единицу объема (поверхности, длины).
Размерность распределенной нагрузки – Н/м 3 (Н/м 2 , Н/м).
Внешняя сила – это сила, действующая со стороны тела, не принадлежащего рассматриваемой механической системе.
Внутренняя сила – это сила, действующая на материальную точку механической системы со стороны другой материальной точки, принадлежащей рассматриваемой системе.
Система сил – это совокупность сил, действующих на механическую систему.
Плоская система сил – это система сил, линии действия которых лежат в одной плоскости.
Пространственная система сил – это система сил, линии действия которых не лежат в одной плоскости.
Система сходящихся сил – это система сил, линии действия которых пересекаются в одной точке.
Произвольная система сил – это система сил, линии действия которых не пересекаются в одной точке.
Эквивалентные системы сил – это такие системы сил, замена которых одна на другую не изменяет механического состояния тела.
Принятое обозначение: .
Равновесие – это состояние, при котором тело при действии сил остается неподвижным или движется равномерно прямолинейно.
Уравновешенная система сил – это система сил, которая будучи приложена к свободному твердому телу не изменяет его механического состояния (не выводит из равновесия).
.
Равнодействующая сила – это сила, действие которой на тело эквивалентно действию системы сил.
.
Момент силы – это величина, характеризующая вращающую способность силы.
Пара сил – это система двух параллельных равных по модулю противоположно направленных сил.
Принятое обозначение: .
Под действием пары сил тело будет совершать вращательное движение.
Проекция силы на ось – это отрезок, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой оси.
Проекция положительна, если направление отрезка совпадает с положительным направлением оси.
Проекция силы на плоскость – это вектор на плоскости, заключенный между перпендикулярами, проведенными из начала и конца вектора силы к этой плоскости.
Закон 1 (закон инерции). Изолированная материальная точка находится в покое либо движется равномерно и прямолинейно.
Равномерное и прямолинейное движение материальной точки является движением по инерции. Под состоянием равновесия материальной точки и твердого тела понимают не только состояние покоя, но и движение по инерции. Для твердого тела существуют различные виды движения по инерции, например равномерное вращение твердого тела вокруг неподвижной оси.
Закон 2. Твердое тело находится в равновесии под действием двух сил только в том случае, если эти силы равны по модулю и направлены в противоположные стороны по общей линии действия.
Эти две силы называются уравновешивающимися.
Вообще силы называются уравновешивающимися, если твердое тело, к которому приложены эти силы, находится в покое.
Закон 3. Не нарушая состояния (слово «состояние» здесь означает состояние движения или покоя) твердого тела, можно добавлять и отбрасывать уравновешивающиеся силы.
Следствие. Не нарушая состояния твердого тела, силу можно переносить по ее линии действия в любую точку тела.
Две системы сил называются эквивалентными, если одну из них можно заменить другой, не нарушая состояния твердого тела.
Закон 4. Равнодействующая двух сил, приложенных в одной точке, приложена в той же точке, равна по модулю диагонали параллелограмма, построенного на этих силах, и направлена вдоль этой
диагонали.
По модулю равнодействующая равна:
Закон 5 (закон равенства действия и противодействия) . Силы, с которыми два тела действуют друг на друга, равны по модулю и направлены в противоположные стороны по одной прямой.
Следует иметь в виду, что действие - сила, приложенная к телу Б , и противодействие - сила, приложенная к телу А , не уравновешиваются, так как они приложены к разным телам.
Закон 6 (закон отвердевания) . Равновесие нетвердого тела не нарушается при его затвердевании.
Не следует при этом забывать, что условия равновесия, являющиеся необходимыми и достаточными для твердого тела, являются необходимыми, но недостаточными для соответствующего нетвердого тела.
Закон 7 (закон освобождаемости от связей). Несвободное твердое тело можно рассматривать как свободное, если его мысленно освободить от связей, заменив действие связей соответствующими реакциями связей.

Связи и их реакции

Гладкая поверхность ограничивает перемещение по нормали к поверхности опоры. Реакция направлена перпендикулярно поверхности.
Шарнирная подвижная опора ограничивает перемещение тела по нормали к опорной плоскости. Реакция направлена по нормали к поверхности опоры.
Шарнирная неподвижная опора противодействует любому перемещению в плоскости, перпендикулярной оси вращения.
Шарнирный невесомый стержень противодействует перемещению тела вдоль линии стержня. Реакция будет направлена вдоль линии стержня.
Глухая заделка противодействует любому перемещению и вращению в плоскости. Ее действие можно заменить силой, представленной в виде двух составляющих и парой сил с моментом.

Кинематика

Кинематика — раздел теоретической механики, в котором рассматриваются общие геометрические свойства механического движения, как процесса, происходящего в пространстве и во времени. Движущиеся объекты рассматривают как геометрические точки или геометрические тела.

Основные понятия кинематики

Закон движения точки (тела) – это зависимость положения точки (тела) в пространстве от времени.
Траектория точки – это геометрическое место положений точки в пространстве при ее движении.
Скорость точки (тела) – это характеристика изменения во времени положения точки (тела) в пространстве.
Ускорение точки (тела) – это характеристика изменения во времени скорости точки (тела).

Определение кинематических характеристик точки

Траектория точки
В векторной системе отсчета траектория описывается выражением: .
В координатной системе отсчета траектория определяется по закону движения точки и описывается выражениями z = f(x,y) — в пространстве, или y = f(x) – в плоскости.
В естественной системе отсчета траектория задается заранее.
Определение скорости точки в векторной системе координат
При задании движения точки в векторной системе координат отношение перемещения к интервалу времени называют средним значением скорости на этом интервале времени: .
Принимая интервал времени бесконечно малой величиной, получают значение скорости в данный момент времени (мгновенное значение скорости): .
Вектор средней скорости направлен вдоль вектора в сторону движения точки, вектор мгновенной скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки.
Вывод: скорость точки – векторная величина, равная производной от закона движения по времени.
Свойство производной: производная от какой либо величины по времени определяет скорость изменения этой величины.
Определение скорости точки в координатной системе отсчета
Скорости изменения координат точки:
.
Модуль полной скорости точки при прямоугольной системе координат будет равен:
.
Направление вектора скорости определяется косинусами направляющих углов:
,
где — углы между вектором скорости и осями координат.
Определение скорости точки в естественной системе отсчета
Скорость точки в естественной системе отсчета определяется как производная от закона движения точки: .
Согласно предыдущим выводам вектор скорости направлен по касательной к траектории в сторону движения точки и в осях определяется только одной проекцией .

Кинематика твердого тела

В кинематике твердых тел решаются две основные задачи:
1) задание движения и определение кинематических характеристик тела в целом;
2) определение кинематических характеристик точек тела.
Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение — это движение, при котором прямая, проведенная через две точки тела, остается параллельной ее первоначальному положению.
Теорема: при поступательном движении все точки тела движутся по одинаковым траекториям и имеют в каждой момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения .
Вывод: поступательное движение твердого тела определяется движением любой его точки, в связи с чем, задание и изучение его движения сводится к кинематике точки .
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси
Вращательное движение твердого тела вокруг неподвижной оси — это движение твердого тела, при котором две точки, принадлежащие телу, остаются неподвижными в течение всего времени движения.
Положение тела определяется углом поворота . Единица измерения угла – радиан. (Радиан — центральный угол окружности, длина дуги которого равна радиусу, полный угол окружности содержит 2π радиана.)
Закон вращательного движения тела вокруг неподвижной оси .
Угловую скорость и угловое ускорение тела определим методом дифференцирования:
— угловая скорость, рад/с;
— угловое ускорение, рад/с².
Если рассечь тело плоскостью перпендикулярной оси, выбрать на оси вращения точку С и произвольную точку М , то точка М будет описывать вокруг точки С окружность радиуса R . За время dt происходит элементарный поворот на угол , при этом точка М совершит перемещение вдоль траектории на расстояние .
Модуль линейной скорости:
.
Ускорение точки М при известной траектории определяется по его составляющим :
,
где .
В итоге, получаем формулы
тангенциальное ускорение: ;
нормальное ускорение: .

Динамика

Динамика — это раздел теоретической механики, в котором изучаются механические движении материальных тел в зависимости от причин, их вызывающих.

Основные понятия динамики

Инерционность — это свойство материальных тел сохранять состояние покоя или равномерного прямолинейного движения, пока внешние силы не изменят этого состояния.
Масса — это количественная мера инерционности тела. Единица измерения массы — килограмм (кг).
Материальная точка — это тело, обладающее массой, размерами которого при решении данной задачи пренебрегают.
Центр масс механической системы — геометрическая точка, координаты которой определяются формулами:

где m k , x k , y k , z k — масса и координаты k -той точки механической системы, m — масса системы.
В однородном поле тяжести положение центра масс совпадает с положением центра тяжести.
Момент инерции материального тела относительно оси – это количественная мера инертности при вращательном движении.
Момент инерции материальной точки относительно оси равен произведению массы точки на квадрат расстояния точки от оси:
.
Момент инерции системы (тела) относительно оси равен арифметической сумме моментов инерции всех точек:
Сила инерции материальной точки — это векторная величина, равная по модулю произведению массы точки на модуль ускорения и направленная противоположно вектору ускорения:
Сила инерции материального тела — это векторная величина, равная по модулю произведению массы тела на модуль ускорения центра масс тела и направленная противоположно вектору ускорения центра масс: ,
где — ускорение центра масс тела.
Элементарный импульс силы — это векторная величина , равная произведению вектора силы на бесконечно малый промежуток времени dt :
.
Полный импульс силы за Δt равен интегралу от элементарных импульсов:
.
Элементарная работа силы — это скалярная величина dA , равная скалярному прои