Классическая вероятность. Полная вероятность события
Теория вероятностей - математическая наука, изучающая закономерности в случайных явлениях. Возникновение теории относится к середине XVII века и связано с именем Гюйгенса, Паскаля, Ферма, Я. Бернулли.
Неразложимые исходы,..., некоторого эксперимента будем называть элементарными событиями, а их совокупность
(конечным) пространством элементарных событий, или пространством исходов.
Пример 21. а) При подбрасывании игральной кости пространство элементарных событий состоит из шести точек:
б) Подбрасываем монету два раза подряд, тогда
где Г - "герб", Р - "решетка" и общее число исходов
в) Подбрасываем монету до первого появления "герба", тогда
В этом случае называется дискретным пространством элементарных событий.
Обычно интересуются не тем, какой конкретно исход имеет место в результате испытания, а тем, принадлежит ли исход тому или иному подмножеству всех исходов. Все те подмножества, для которых по условиям эксперимента возможен ответ одного из двух типов: "исход " или "исход ", будем называть событиями.
В примере 21 б) множество = {ГГ, ГР, РГ} является событием, состоящим в том, что выпадает по крайней мере один "герб". Событие состоит из трех элементарных исходов пространства, поэтому
Суммой двух событий и называется событие, состоящее в выполнении события или события.
Произведением событий и называется событие, состоящее в совместном исполнении события и события.
Противоположным по отношению к событию называется событие, состоящее в непоявлении и, значит, дополняющее его до.
Множество называется достоверным событием, пустое множество - невозможным.
Если каждое появление события сопровождается появлением, то пишут и говорят, что предшествует или влечет за собой.
События и называются равносильными, если и.
Определение. Вероятностью события называется число, равное отношению числа элементарных исходов, составляющих событие, к числу всех элементарных исходов
Случай равновозможных событий, (называется "классическим", поэтому и вероятность
называется "классической".
Элементарные события (исходы опыта), входящие в событие, называются "благоприятными".
Свойства классической вероятности:
Если (и - несовместные события).
Пример 22 (задача Гюйгенса). В урне 2 белых и 4 черных шара. Один азартный человек держит пари с другим, что среди вынутых 3 шаров будет ровно один белый. В каком отношении находятся шансы спорящих?
Решение 1 (традиционное). В данном случае испытание = {вынимание 3 шаров}, а событие - благоприятствующее одному из спорящих:
= {достать ровно один белый шар}.
Поскольку порядок вынимания трех шаров не важен, то
Один белый шар можно достать в случаев, а два черных - , и тогда по основному правилу комбинаторики. Отсюда а по пятому свойству вероятности Следовательно,
Решение 2. Составим вероятностное дерево исходов:
Пример 23. Рассмотрим копилку, в которой осталось четыре монеты - три по 2 руб. и одна в 5 руб. Извлекаем две монеты.
Решение. а) Два последовательных извлечения (с возвращением) могут привести к следующим исходам:
Какова вероятность каждого из этих исходов?
В таблице показаны все шестнадцать возможных случаев.
Следовательно,
К тем же результатам ведет и следующее дерево:
б) Два последовательных извлечения (без повторения) могут привести к следующим трем исходам:
В таблице покажем все возможные исходы:
Следовательно,
К тем же результатам ведет и соответствующее дерево:
Пример 24 (задача де Мере). Двое играют в "орлянку" до пяти побед. Игра прекращена, когда первый выиграл четыре партии, а второй - три. Как в этом случае следует поделить первоначальную ставку?
Решение. Пусть событие = {выиграть приз первым игроком}. Тогда вероятностное дерево выигрыша для первого игрока следующее:
Отсюда, и три части ставки следует отдать первому игроку, а второму - одну часть.
Покажем эффективность решения вероятностных задач с помощью графов и на следующем примере, который мы рассматривали в §1 (пример 2).
Пример 25. Является ли выбор с помощью "считалки" справедливым?
Решение. Составим вероятностное дерево исходов:
и, следовательно, при игре в "считалки" выгодней стоять вторым.
В последнем решении использованы интерпретации на графах теорем сложения и умножения вероятностей:
и в частности
Если и - несовместные события
и, если и - независимые события.
Статическая вероятность
Классическое определение при рассмотрении сложных проблем наталкивается на трудности непреодолимого характера. В частности, в некоторых случаях выявить равновозможные случаи может быть невозможно. Даже в случае с монеткой, как известно существует явно не равновероятная возможность выпадения "ребра", которую из теоретических соображений оценить невозможно (можно только сказать, что оно маловероятно и то это соображение скорее практическое). Поэтому еще на заре становления теории вероятностей было предложено альтернативное "частотное" определение вероятности. А именно, формально вероятность можно определить как предел частоты наблюдений события A, предполагая однородность наблюдений (то есть одинаковость всех условий наблюдения) и их независимость друг от друга:
где - количество наблюдений, а - количество наступлений события.
Несмотря на то, что данное определение скорее указывает на способ оценки неизвестной вероятности - путем большого количества однородных и независимых наблюдений - тем не менее в таком определении отражено содержание понятия вероятности. А именно, если событию приписывается некоторая вероятность, как объективная мера его возможности, то это означает, что при фиксированных условиях и многократном повторении мы должны получить частоту его появления, близкую к (тем более близкую, чем больше наблюдений). Собственно, в этом заключается исходный смысл понятия вероятности. В основе лежит объективистский взгляд на явления природы. Ниже будут рассмотрены так называемые законы больших чисел, которые дают теоретическую основу (в рамках излагаемого ниже современного аксиоматического подхода) в том числе для частотной оценки вероятности.
Классическое и статистическое определение вероятности
Для практической деятельности необходимо уметь сравнивать события по степени возможности их наступления. Рассмотрим классический случай. В урне находится 10 шаров, 8 из них белого цвета, 2 черного. Очевидно, что событие «из урны будет извлечен шар белого цвета» и событие «из урны будет извлечен шар черного цвета» обладают разной степенью возможности их наступления. Поэтому для сравнения событий нужна определенная количественная мера.
Количественной мерой возможности наступления события является вероятность . Наиболее широкое распространение получили два определения вероятности события: классическое и статистическое.
Классическое определение вероятности связано с понятием благоприятствующего исхода. Остановимся на этом подробнее.
Пусть исходы некоторого испытания образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Такие исходы называют элементарными исходами , или случаями . При этом говорят, что испытание сводится к схеме случаев или «схеме урн », т.к. любую вероятностную задачу для подобного испытания можно заменить эквивалентной задачей с урнами и шарами разных цветов.
Исход называется благоприятствующим событию А , если появление этого случая влечет за собой появление события А .
Согласно классическому определению вероятность события А равна отношению числа исходов, благоприятствующих этому событию, к общему числу исходов , т.е.
, | (1.1) |
где Р(А) – вероятность события А ; m – число случаев благоприятствующих событию А ; n – общее число случаев.
Пример 1.1. При бросании игральной кости возможны шесть исходов – выпадение 1, 2, 3, 4, 5, 6 очков. Какова вероятность появления четного числа очков?
Решение. Все n = 6 исходов образуют полную группу событий и равновозможны, т.е. единственно возможны, несовместны и равновозможны. Событию А – «появление четного числа очков» – благоприятствуют 3 исхода (случая) – выпадение 2, 4 или 6 очков. По классической формуле вероятности события получаем
Р(А) = = . ◄
Исходя из классического определения вероятности события, отметим ее свойства:
1. Вероятность любого события заключена между нулем и единицей, т.е.
0 ≤ Р (А ) ≤ 1.
2. Вероятность достоверного события равна единице.
3. Вероятность невозможного события равна нулю.
Как было сказано ранее, классическое определение вероятности применимо только для тех событий, которые могут появиться в результате испытаний, обладающих симметрией возможных исходов, т.е. сводящихся к схеме случаев. Однако существует большой класс событий, вероятности которых не могут быть вычислены с помощью классического определения.
Например, если допустить, что монета сплющена, то очевидно, что события «появление герба» и «появление решки» нельзя считать равновозможными. Поэтому формула для определения вероятности по классической схеме в данном случае неприменима.
Однако существует другой подход при оценке вероятности событий, основанный на том, насколько часто будет появляться данное событие в произведенных испытаниях. В этом случае используется статистическое определениевероятности.
Статистической вероятностью события А называется относительная частота (частость) появления этого события в n произведенных испытаниях, т.е.
, | (1.2) |
где Р * (А) – статистическая вероятность события А ; w(A) – относительная частота события А ; m – число испытаний, в которых появилось событие А ; n – общее число испытаний.
В отличие от математической вероятности Р(А) , рассматриваемой в классическом определении, статистическая вероятность Р * (А) является характеристикой опытной , экспериментальной . Иначе говоря, статистической вероятностью события А называется число, относительно которого стабилизируется (устанавливается) относительная частота w(А) при неограниченном увеличении числа испытаний, проводимых при одном и том же комплексе условий.
Например, когда про стрелка говорят, что он попадает в цель с вероятностью 0,95, то это означает, что из сотни выстрелов, произведенных им при определенных условиях (одна и та же цель на том же расстоянии, та же винтовка и т.д.), в среднем бывает примерно 95 удачных. Естественно, не в каждой сотне будет 95 удачных выстрелов, иногда их будет меньше, иногда больше, но в среднем при многократном повторении стрельбы в тех же условиях этот процент попаданий будет оставаться неизменным. Цифра 0,95, служащая показателем мастерства стрелка, обычно очень устойчива , т.е. процент попаданий в большинстве стрельб будет для данного стрелка почти один и тот же, лишь в редких случаях отклоняясь сколько-нибудь значительно от своего среднего значения.
Еще одним недостатком классического определения вероятности (1.1 ), ограничивающим его применение, является то, что оно предполагает конечное число возможных исходов испытания. В некоторых случаях этот недостаток можно преодолеть, используя геометрическое определение вероятности, т.е. находя вероятность попадания точки в некоторую область (отрезок, часть плоскости и т.п.).
Пусть плоская фигура g составляет часть плоской фигуры G (рис. 1.1). На фигуру G наудачу бросается точка. Это означает, что все точки области G «равноправны» в отношении попадания на нее брошенной случайной точки. Полагая, что вероятность события А – попадания брошенной точки на фигуру g – пропорциональна площади этой фигуры и не зависит ни от ее расположения относительно G , ни от формы g , найдем
Задачи на классическое определение вероятности.
Примеры решений
На третьем уроке мы рассмотрим различные задачи, касающиеся непосредственного применения классического определения вероятности. Для эффективного изучения материалов данной статьи рекомендую ознакомиться с базовыми понятиями теории вероятностей и основами комбинаторики . Задача на классическое определение вероятности с вероятностью, стремящейся к единице, будет присутствовать в вашей самостоятельной/контрольной работе по терверу, поэтому настраиваемся на серьёзную работу. Вы спросите, чего тут серьёзного? …всего-то одна примитивная формула . Предостерегаю от легкомыслия – тематические задания достаточно разнообразны, и многие из них запросто могут поставить в тупик. В этой связи помимо проработки основного урока, постарайтесь изучить дополнительные задачи по теме, которые находятся в копилке готовых решений по высшей математике . Приёмы решения приёмами решения, а «друзей» всё-таки «надо знать в лицо», ибо даже богатая фантазия ограничена и типовых задач тоже хватает. Ну а я постараюсь в хорошем качестве разобрать максимальное их количество.
Вспоминаем классику жанра:
Вероятность наступления события в некотором испытании равна отношению , где:
– общее число всех равновозможных , элементарных исходов данного испытания, которые образуют полную группу событий ;
– количество элементарных исходов, благоприятствующих событию .
И сразу незамедлительный пит-стоп. Понятны ли вам подчёркнутые термины? Имеется ввиду чёткое, а не интуитивное понимание. Если нет, то всё-таки лучше вернуться к 1-й статье по теории вероятностей и только после этого ехать дальше.
Пожалуйста, не пропускайте первые примеры – в них я повторю один принципиально важный момент, а также расскажу, как правильно оформлять решение и какими способами это можно сделать:
Задача 1
В урне находится 15 белых, 5 красных и 10 чёрных шаров. Наугад извлекается 1 шар, найти вероятность того, что он будет: а) белым, б) красным, в) чёрным.
Решение : важнейшей предпосылкой для использования классического определения вероятности является возможность подсчёта общего количества исходов .
Всего в урне: 15 + 5 + 10 = 30 шаров, и, очевидно, справедливы следующие факты:
– извлечение любого шара одинаково возможно (равновозможность исходов) , при этом исходы элементарны и образуют полную группу событий (т.е. в результате испытания обязательно будет извлечён какой-то один из 30 шаров) .
Таким образом, общее число исходов:
Рассмотрим событие: – из урны будет извлечён белый шар. Данному событию благоприятствуют элементарных
исходов, поэтому по классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар.
Как ни странно, даже в такой простой задаче можно допустить серьёзную неточность, на которой я уже заострял внимание в первой статье по теории вероятностей . Где здесь подводный камень? Здесь некорректно рассуждать, что «раз половина шаров белые, то вероятность извлечения белого шара » . В классическом определении вероятности речь идёт об ЭЛЕМЕНТАРНЫХ исходах, и дробь следует обязательно прописать!
С другими пунктами аналогично, рассмотрим следующие события:
– из урны будет извлечён красный шар;
– из урны будет извлечён чёрный шар.
Событию благоприятствует 5 элементарных исходов, а событию – 10 элементарных исходов. Таким образом, соответствующие вероятности:
Типичная проверка многих задач по терверу осуществляется с помощью теоремы о сумме вероятностей событий, образующих полную группу . В нашем случае события образуют полную группу, а значит, сумма соответствующих вероятностей должна обязательно равняться единице: .
Проверим, так ли это: , в чём и хотелось убедиться.
Ответ :
В принципе, ответ можно записать и подробнее, но лично я привык ставить туда только числа – по той причине, что когда начинаешь «штамповать» задачи сотнями и тысячами, то стремишься максимально сократить запись решения. К слову, о краткости: на практике распространён «скоростной» вариант оформления решения :
Всего: 15 + 5 + 10 = 30 шаров в урне. По классическому определению:
– вероятность того, то из урны будет извлечён белый шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён красный шар;
– вероятность того, то из урны будет извлечён чёрный шар.
Ответ :
Однако если в условии несколько пунктов, то решение зачастую удобнее оформить первым способом, который отнимает чуть больше времени, но зато всё «раскладывает по полочкам» и позволяет легче сориентироваться в задаче.
Разминаемся:
Задача 2
В магазин поступило 30 холодильников, пять из которых имеют заводской дефект. Случайным образом выбирают один холодильник. Какова вероятность того, что он будет без дефекта?
Выберите целесообразный вариант оформления и сверьтесь с образцом внизу страницы.
В простейших примерах количество общих и количество благоприятствующих исходов лежат на поверхности, но в большинстве случаев картошку приходится выкапывать самостоятельно. Каноничная серия задач о забывчивом абоненте:
Задача 3
Набирая номер телефона, абонент забыл две последние цифры, но помнит, что одна из них – ноль, а другая – нечётная. Найти вероятность того, что он наберёт правильный номер.
Примечание : ноль – это чётное число (делится на 2 без остатка)
Решение
: сначала найдём общее количество исходов. По условию, абонент помнит, что одна из цифр – ноль, а другая цифра – нечётная. Здесь рациональнее не мудрить с комбинаторикой и воспользоваться методом прямого перечисления исходов
. То есть, при оформлении решения просто записываем все комбинации:
01, 03, 05, 07, 09
10, 30, 50, 70, 90
И подсчитываем их – всего: 10 исходов.
Благоприятствующий исход один: верный номер.
По классическому определению:
– вероятность того, что абонент наберёт правильный номер
Ответ : 0,1
Десятичные дроби в теории вероятностей смотрятся вполне уместно, но можно придерживаться и традиционного вышматовского стиля, оперируя только обыкновенными дробями.
Продвинутая задача для самостоятельного решения:
Задача 4
Абонент забыл пин-код к своей сим-карте, однако помнит, что он содержит три «пятёрки», а одна из цифр – то ли «семёрка», то ли «восьмёрка». Какова вероятность успешной авторизации с первой попытки?
Здесь ещё можно развить мысль о вероятности того, что абонента ждёт кара в виде пук-кода, но, к сожалению, рассуждения уже выйдут за рамки данного урока
Решение и ответ внизу.
Иногда перечисление комбинаций оказывается весьма кропотливым занятием. В частности, так обстоят дела в следующей, не менее популярной группе задач, где подкидываются 2 игральных кубика (реже – бОльшее количество) :
Задача 5
Найти вероятность того, что при бросании двух игральных костей в сумме выпадет:
а) пять очков;
б) не более четырёх очков;
в) от 3 до 9 очков включительно.
Решение : найдём общее количество исходов:
Способами может выпасть грань 1-го кубика и способами может выпасть грань 2-го кубика; по правилу умножения комбинаций , всего: возможных комбинаций. Иными словами, каждая грань 1-го кубика может составить упорядоченную пару с каждой гранью 2-го кубика. Условимся записывать такую пару в виде , где – цифра, выпавшая на 1-м кубике, – цифра, выпавшая на 2-м кубике. Например:
– на первом кубике выпало 3 очка, на втором – 5 очков, сумма очков: 3 + 5 = 8;
– на первом кубике выпало 6 очков, на втором – 1 очко, сумма очков: 6 + 1 = 7;
– на обеих костях выпало 2 очка, сумма: 2 + 2 = 4.
Очевидно, что наименьшую сумму даёт пара , а наибольшую – две «шестёрки».
а) Рассмотрим событие: – при бросании двух игральных костей выпадет 5 очков. Запишем и подсчитаем количество исходов, которые благоприятствуют данному событию:
Итого: 4 благоприятствующих исхода. По классическому определению:
– искомая вероятность.
б) Рассмотрим событие: – выпадет не более 4 очков. То есть, либо 2, либо 3, либо 4 очка. Снова перечисляем и подсчитываем благоприятствующие комбинации, слева я буду записывать суммарное количество очков, а после двоеточия – подходящие пары:
Итого: 6 благоприятствующих комбинаций. Таким образом:
– вероятность того, что выпадет не более 4 очков.
в) Рассмотрим событие: – выпадет от 3 до 9 очков включительно. Здесь можно пойти прямой дорогой, но… что-то не хочется. Да, некоторые пары уже перечислены в предыдущих пунктах, но работы все равно предстоит многовато.
Как лучше поступить? В подобных случаях рациональным оказывается окольный путь. Рассмотрим противоположное событие : – выпадет 2 или 10 или 11 или 12 очков.
В чём смысл? Противоположному событию благоприятствует значительно меньшее количество пар:
Итого: 7 благоприятствующих исходов.
По классическому определению:
– вероятность того, что выпадет меньше трёх или больше 9 очков.
Помимо прямого перечисления и подсчёта исходов, в ходу также различные комбинаторные формулы . И снова эпичная задача про лифт:
Задача 7
В лифт 20-этажного дома на первом этаже зашли 3 человека. И поехали. Найти вероятность того, что:
а) они выйдут на разных этажах
б) двое выйдут на одном этаже;
в) все выйдут на одном этаже.
Наше увлекательное занятие подошло к концу, и напоследок ещё раз настоятельно рекомендую если не прорешать, то хотя бы разобраться в дополнительных задачах на классическое определение вероятности . Как я уже отмечал, «набивка руки» тоже имеет значение!
Далее по курсу – Геометрическое определение вероятности и Теоремы сложения и умножения вероятностей и… везения в главном!
Решения и ответы :
Задача 2: Решение
: 30 – 5 = 25 холодильников не имеют дефекта.
– вероятность того, что наугад выбранный холодильник не имеет дефекта.
Ответ
:
Задача 4: Решение
: найдём общее число исходов:
способами можно выбрать место, на котором расположена сомнительная цифра и на каждом
из этих 4 мест могут располагаться 2 цифры (семёрка или восьмёрка). По правилу умножения комбинаций, общее число исходов: .
Как вариант, в решении можно просто перечислить все исходы (благо их немного):
7555, 8555, 5755, 5855, 5575, 5585, 5557, 5558
Благоприятствующий исход один (правильный пин-код).
Таким образом, по классическому определению:
– вероятность того, что абонент авторизируется с 1-й попытки
Ответ
:
Задача 6: Решение
: найдём общее количество исходов:
способами могут выпасть цифры на 2 кубиках.
а) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков будет равно семи. Для данного события не существует благоприятствующих исходов, по классическому определению вероятности:
, т.е. это событие является невозможным.
б) Рассмотрим событие: – при броске двух игральных костей произведение очков окажется не менее 20. Данному событию благоприятствуют следующие исходы:
Итого: 8
По классическому определению:
– искомая вероятность.
в) Рассмотрим противоположные события:
– произведение очков будет чётным;
– произведение очков будет нечётным.
Перечислим все исходы, благоприятствующие событию :
Итого: 9 благоприятствующих исходов.
По классическому определению вероятности:
Противоположные события образуют полную группу, поэтому:
– искомая вероятность.
Ответ :
Задача 8: Решение
: вычислим общее количество исходов: способами могут упасть 10 монет.
Другой путь: способами может упасть 1-я монета и
способами может упасть 2-я монета и
… и
способами может упасть 10-я монета. По правилу умножения комбинаций, 10 монет могут упасть способами.
а) Рассмотрим событие: – на всех монетах выпадет орёл. Данному событию благоприятствует единственный исход, по классическому определению вероятности: .
б) Рассмотрим событие: – на 9 монетах выпадет орёл, а на одной – решка.
Существует монет, на которых может выпасть решка. По классическому определению вероятности: .
в) Рассмотрим событие: – орёл выпадет на половине монет.
Существует уникальных комбинаций из пяти монет, на которых может выпасть орёл. По классическому определению вероятности:
Ответ
: