Рассчитать вероятность наступления события. Теория вероятности: формулы и примеры решения задач
Нравится нам это или нет, но наша жизнь полна всевозможных случайностей, как приятных так и не очень. Поэтому каждому из нас не помешало бы знать, как найти вероятность того или иного события. Это поможет принимать верные решения при любых обстоятельствах, которые связаны с неопределенностью. К примеру, такие знания окажутся весьма кстати при выборе вариантов инвестирования, оценке возможности выигрыша в акции или лотерее, определении реальности достижения личных целей и т. д., и т. п.
Формула теории вероятности
В принципе, изучение данной темы не занимает слишком много времени. Для того чтобы получить ответ на вопрос: "Как найти вероятность какого-либо явления?", нужно разобраться с ключевыми понятиями и запомнить основные принципы, на которых базируется расчёт. Итак, согласно статистике, исследуемые события обозначаются через A1, А2,..., An. У каждого из них есть как благоприятствующие исходы (m), так и общее количество элементарных исходов. К примеру, нас интересует, как найти вероятность того, что на верхней грани кубика окажется четное число очков. Тогда А - это бросок m - выпадение 2, 4 или 6 очков (три благоприятствующих варианта), а n - это все шесть возможных вариантов.
Сама же формула расчета выглядит следующим образом:
С одним исходом все предельно легко. А вот как найти вероятность, если события идут одно за другим? Рассмотрим такой пример: из карточной колоды (36 шт.) показывается одна карта, затем она прячется снова в колоду, и после перемешивания вытаскивается следующая. Как найти вероятность того, что хоть в одном случае была вытащена дама пик? Существует следующее правило: если рассматривается сложное событие, которое можно разделить на несколько несовместимых простых событий, то можно сначала рассчитать результат для каждого из них, а затем сложить их между собой. В нашем случае это будет выглядеть так: 1 / 36 + 1 / 36 = 1 / 18 . А как же быть тогда, когда несколько происходят одновременно? Тогда результаты умножаем! Например, вероятность того, что при одновременном подбрасывании сразу двух монет выпадут две решки, будет равна: ½ * ½ = 0.25.
Теперь возьмем еще более сложный пример. Предположим, мы попали на книжную лотерею, в которой из тридцати билетов десять являются выигрышными. Требуется определить:
- Вероятность того, что оба окажутся выигрышными.
- Хотя бы один из них принесет приз.
- Оба окажутся проигрышными.
Итак, рассмотрим первый случай. Его можно разбить на два события: первый билет будет счастливым, и второй также окажется счастливым. Учтем, что события зависимы, поскольку после каждого вытаскивания общее количество вариантов уменьшается. Получаем:
10 / 30 * 9 / 29 = 0,1034.
Во втором случае понадобится определить вероятность проигрышного билета и учесть, что он может быть как первым по счету, так и вторым: 10 / 30 * 20 / 29 + 20 / 29 * 10 / 30 = 0,4598.
Наконец, третий случай, когда по разыгранной лотерее даже одной книжки получить не получится: 20 / 30 * 19 / 29 = 0,4368.
Фактически формулы (1) и (2) это краткая запись условной вероятности на основе таблицы сопряженности признаков. Вернемся к примеру, рассмотренному (рис. 1). Предположим, что нам стало известно, будто некая семья собирается купить широкоэкранный телевизор. Какова вероятность того, что эта семья действительно купит такой телевизор?
Рис. 1. Поведение покупателей широкоэкранных телевизоров
В данном случае нам необходимо вычислить условную вероятность Р (покупка совершена | покупка планировалась). Поскольку нам известно, что семья планирует покупку, выборочное пространство состоит не из всех 1000 семей, а только из тех, которые планируют покупку широкоэкранного телевизора. Из 250 таких семей 200 действительно купили этот телевизор. Следовательно, вероятность того, что семья действительно купит широкоэкранный телевизор, если она это запланировала, можно вычислить по следующей формуле:
Р (покупка совершена | покупка планировалась) = количество семей, планировавших и купивших широкоэкранный телевизор / количество семей, планировавших купить широкоэкранный телевизор = 200 / 250 = 0,8
Этот же результат дает формула (2):
где событие А заключается в том, что семья планирует покупку широкоформатного телевизора, а событие В - в том, что она его действительно купит. Подставляя в формулу реальные данные, получаем:
Дерево решений
На рис. 1 семьи разделены на четыре категории: планировавшие покупку широкоэкранного телевизора и не планировавшие, а также купившие такой телевизор и не купившие. Аналогичную классификацию можно выполнить с помощью дерева решений (рис. 2). Дерево, изображенное на рис. 2, имеет две ветви, соответствующие семьям, которые планировали приобрести широкоэкранный телевизор, и семьям, которые не делали этого. Каждая из этих ветвей разделяется на две дополнительные ветви, соответствующие семьям, купившим и не купившим широкоэкранный телевизор. Вероятности, записанные на концах двух основных ветвей, являются безусловными вероятностями событий А и А’ . Вероятности, записанные на концах четырех дополнительных ветвей, являются условными вероятностями каждой комбинации событий А и В . Условные вероятности вычисляются путем деления совместной вероятности событий на соответствующую безусловную вероятность каждого из них.
Рис. 2. Дерево решений
Например, чтобы вычислить вероятность того, что семья купит широкоэкранный телевизор, если она запланировала сделать это, следует определить вероятность события покупка запланирована и совершена , а затем поделить его на вероятность события покупка запланирована . Перемещаясь по дереву решения, изображенному на рис. 2, получаем следующий (аналогичный предыдущему) ответ:
Статистическая независимость
В примере с покупкой широкоэкранного телевизора вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор при условии, что она планировала это сделать, равна 200/250 = 0,8. Напомним, что безусловная вероятность того, что случайно выбранная семья приобрела широкоэкранный телевизор, равна 300/1000 = 0,3. Отсюда следует очень важный вывод. Априорная информация о том, что семья планировала покупку, влияет на вероятность самой покупки. Иначе говоря, эти два события зависят друг от друга. В противоположность этому примеру, существуют статистически независимые события, вероятности которых не зависят друг от друга. Статистическая независимость выражается тождеством: Р(А|В) = Р(А) , где Р(А|В) - вероятность события А при условии, что произошло событие В , Р(А) - безусловная вероятность события А.
Обратите внимание на то, что события А и В Р(А|В) = Р(А) . Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, это условие выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и В , оно будет справедливым и для любой другой комбинации. В нашем примере события покупка запланирована и покупка совершена не являются статистически независимыми, поскольку информация об одном событии влияет на вероятность другого.
Рассмотрим пример, в котором показано, как проверить статистическую независимость двух событий. Спросим у 300 семей, купивших широкоформатный телевизор, довольны ли они своей покупкой (рис. 3). Определите, связаны ли между собой степень удовлетворенности покупкой и тип телевизора.
Рис. 3. Данные, характеризующие степень удовлетворенности покупателей широкоэкранных телевизоров
Судя по этим данным,
В то же время,
Р (покупатель удовлетворен) = 240 / 300 = 0,80
Следовательно, вероятность того, что покупатель удовлетворен покупкой, и того, что семья купила HDTV-телевизор, равны между собой, и эти события являются статистически независимыми, поскольку никак не связаны между собой.
Правило умножения вероятностей
Формула для вычисления условной вероятности позволяет определить вероятность совместного события А и В . Разрешив формулу (1)
относительно совместной вероятности Р(А и В) , получаем общее, правило умножения вероятностей. Вероятность события А и В равна вероятности события А при условии, что наступило событие В В :
(3) Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)
Рассмотрим в качестве примера 80 семей, купивших широкоэкранный HDTV-телевизор (рис. 3). В таблице указано, что 64 семьи удовлетворены покупкой и 16 - нет. Предположим, что среди них случайным образом выбираются две семьи. Определите вероятность, что оба покупателя окажутся довольными. Используя формулу (3), получаем:
Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)
где событие А заключается в том, что вторая семья удовлетворена своей покупкой, а событие В - в том, что первая семья удовлетворена своей покупкой. Вероятность того, что первая семья удовлетворена своей покупкой, равна 64/80. Однако вероятность того, что вторая семья также удовлетворена своей покупкой, зависит от ответа первой семьи. Если первая семья после опроса не возвращается в выборку (выбор без возвращения), количество респондентов снижается до 79. Если первая семья оказалась удовлетворенной своей покупкой, вероятность того, что вторая семья также будет довольна, равна 63/79, поскольку в выборке осталось только 63 семьи, удовлетворенные своим приобретением. Таким образом, подставляя в формулу (3) конкретные данные, получим следующий ответ:
Р(А и В) = (63/79)(64/80) = 0,638.
Следовательно, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 63,8%.
Предположим, что после опроса первая семья возвращается в выборку. Определите вероятность того, что обе семьи окажутся довольными своей покупкой. В этом случае вероятности того, что обе семьи удовлетворены своей покупкой одинаковы, и равны 64/80. Следовательно, Р(А и В) = (64/80)(64/80) = 0,64. Таким образом, вероятность того, что обе семьи довольны своими покупками, равна 64,0%. Этот пример показывает, что выбор второй семьи не зависит от выбора первой. Таким образом, заменяя в формуле (3) условную вероятность Р(А|В) вероятностью Р(А) , мы получаем формулу умножения вероятностей независимых событий.
Правило умножения вероятностей независимых событий. Если события А и В являются статистически независимыми, вероятность события А и В равна вероятности события А , умноженной на вероятность события В .
(4) Р(А и В) = Р(А)Р(В)
Если это правило выполняется для событий А и В , значит, они являются статистически независимыми. Таким образом, существуют два способа определить статистическую независимость двух событий:
- События А и В являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А|В) = Р(А) .
- События А и B являются статистически независимыми друг от друга тогда и только тогда, когда Р(А и В) = Р(А)Р(В) .
Если в таблице сопряженности признаков, имеющей размер 2×2, одно из этих условий выполняется хотя бы для одной комбинации событий А и B , оно будет справедливым и для любой другой комбинации.
Безусловная вероятность элементарного события
(5) Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2) + … + P(A|B k)Р(B k)
где события B 1 , B 2 , … B k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.
Проиллюстрируем применение этой формулы на примере рис.1. Используя формулу (5), получаем:
Р(А) = P(A|B 1)Р(B 1) + P(A|B 2)Р(B 2)
где Р(А) - вероятность того, что покупка планировалась, Р(В 1) - вероятность того, что покупка совершена, Р(В 2) - вероятность того, что покупка не совершена.
ТЕОРЕМА БАЙЕСА
Условная вероятность события учитывает информацию о том, что произошло некое другое событие. Этот подход можно использовать как для уточнения вероятности с учетом вновь поступившей информации, так и для вычисления вероятности, что наблюдаемый эффект является следствием некоей конкретной причины. Процедура уточнения этих вероятностей называется теоремой Байеса. Впервые она была разработана Томасом Байесом в 18 веке.
Предположим, что компания, упомянутая выше, исследует рынок сбыта новой модели телевизора. В прошлом 40% телевизоров, созданных компанией, пользовались успехом, а 60% моделей признания не получили. Прежде чем объявить о выпуске новой модели, специалисты по маркетингу тщательно исследуют рынок и фиксируют спрос. В прошлом успех 80% моделей, получивших признание, прогнозировался заранее, в то же время 30% благоприятных прогнозов оказались неверными. Для новой модели отдел маркетинга дал благоприятный прогноз. Какова вероятность того, что новая модель телевизора будет пользоваться спросом?
Теорему Байеса можно вывести из определений условной вероятности (1) и (2). Чтобы вычислить вероятность Р(В|А), возьмем формулу (2):
и подставим вместо Р(А и В) значение из формулы (3):
Р(А и В) = Р(А|В) * Р(В)
Подставляя вместо Р(А) формулу (5), получаем теорему Байеса:
где события B 1 , В 2 , … В k являются взаимоисключающими и исчерпывающими.
Введем следующие обозначения: событие S - телевизор пользуется спросом , событие S’ - телевизор не пользуется спросом , событие F - благоприятный прогноз , событие F’ - неблагоприятный прогноз . Допустим, что P(S) = 0,4, P(S’) = 0,6, P(F|S) = 0,8, P(F|S’) = 0,3. Применяя теорему Байеса получаем:
Вероятность спроса на новую модель телевизора при условии благоприятного прогноза равна 0,64. Таким образом, вероятность отсутствия спроса при условии благоприятного прогноза равна 1–0,64=0,36. Процесс вычислений представлен на рис. 4.
Рис. 4. (а) Вычисления по формуле Байеса для оценки вероятности спроса телевизоров; (б) Дерево решения при исследовании спроса на новую модель телевизора
Рассмотрим пример применения теоремы Байеса для медицинской диагностики. Вероятность того, что человек страдает от определенного заболевания, равна 0,03. Медицинский тест позволяет проверить, так ли это. Если человек действительно болен, вероятность точного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он действительно болен) равна 0,9. Если человек здоров, вероятность ложноположительного диагноза (утверждающего, что человек болен, когда он здоров) равна 0,02. Допустим, что медицинский тест дал положительный результат. Какова вероятность того, что человек действительно болен? Какова вероятность точного диагноза?
Введем следующие обозначения: событие D - человек болен , событие D’ - человек здоров , событие Т - диагноз положительный , событие Т’ - диагноз отрицательный . Из условия задачи следует, что Р(D) = 0,03, P(D’) = 0,97, Р(T|D) = 0,90, P(T|D’) = 0,02. Применяя формулу (6), получаем:
Вероятность того, что при положительном диагнозе человек действительно болен, равна 0,582 (см. также рис. 5). Обратите внимание на то, что знаменатель формулы Байеса равен вероятности положительного диагноза, т.е. 0,0464.
Это отношение количества тех наблюдений, при которых рассматриваемое событие наступило, к общему количеству наблюдений. Такая трактовка допустима в случае достаточно большого количества наблюдений или опытов. Например, если среди встреченных на улице людей примерно половина - женщины, то можно говорить, что вероятность того, что встреченный на улице человек окажется женщиной, равна 1/2. Другими словами, оценкой вероятности события может служить частота его наступления в длительной серии независимых повторений случайного эксперимента .
Вероятность в математике
В современном математическом подходе классическая (то есть не квантовая) вероятность задаётся аксиоматикой Колмогорова . Вероятностью называется мера P , которая задаётся на множестве X , называемом вероятностным пространством . Эта мера должна обладать следующими свойствами:
Из указанных условий следует, что вероятностная мера P также обладает свойством аддитивности : если множества A 1 и A 2 не пересекаются, то . Для доказательства нужно положить все A 3 , A 4 , … равными пустому множеству и применить свойство счётной аддитивности.
Вероятностная мера может быть определена не для всех подмножеств множества X . Достаточно определить её на сигма-алгебре , состоящей из некоторых подмножеств множества X . При этом случайные события определяются как измеримые подмножества пространства X , то есть как элементы сигма-алгебры .
Вероятность смысле
Когда мы находим, что основания для того, чтобы какой-нибудь возможный факт произошел в действительности, перевешивают противоположные основания, мы считаем этот факт вероятным , в противном случае - невероятным . Этот перевес положительных оснований над отрицательными, и наоборот, может представлять неопределённое множество степеней, вследствие чего вероятность (и невероятность ) бывает большею или меньшею .
Сложные единичные факты не допускают точного вычисления степеней своей вероятности, но и здесь важно бывает установить некоторые крупные подразделения. Так, например, в области юридической , когда подлежащий суду личный факт устанавливается на основании свидетельских показаний, он всегда остаётся, строго говоря, лишь вероятным, и необходимо знать, насколько эта вероятность значительна; в римском праве здесь принималось четверное деление: probatio plena (где вероятность практически переходит в достоверность ), далее - probatio minus plena , затем - probatio semiplena major и, наконец, probatio semiplena minor .
Кроме вопроса о вероятности дела, может возникать, как в области права, так и в области нравственной (при известной этической точке зрения) вопрос о том, насколько вероятно, что данный частный факт составляет нарушение общего закона. Этот вопрос, служащий основным мотивом в религиозной юриспруденции Талмуда , вызвал и в римско-католическом нравственном богословии (особенно с конца XVI века) весьма сложные систематические построения и огромную литературу, догматическую и полемическую (см. Пробабилизм) .
Понятие вероятности допускает определенное численное выражение в применении лишь к таким фактам, которые входят в состав определенных однородных рядов. Так (в самом простом примере), когда кто-нибудь бросает сто раз кряду монету, мы находим здесь один общий или большой ряд (сумма всех падений монеты), слагающийся из двух частных или меньших, в данном случае численно равных, рядов (падения «орлом» и падения «решкой»); Вероятность, что в данный раз монета упадет решкой, то есть что этот новый член общего ряда будет принадлежать к этому из двух меньших рядов, равняется дроби, выражающей численное отношение между этим малым рядом и большим, именно 1/2, то есть одинаковая вероятность принадлежит к тому или другому из двух частных рядов. В менее простых примерах заключение не может быть выведено прямо из данных самой задачи, а требует предварительной индукции . Так, например, спрашивается: какая вероятность существует для данного новорожденного дожить до 80 лет? Здесь должно составить общий, или большой, ряд из известного числа людей, рожденных в подобных же условиях и умирающих в различном возрасте (это число должно быть достаточно велико, чтобы устранить случайные отклонения, и достаточно мало, чтобы сохранялась однородность ряда, ибо для человека, рождённого, например, в Санкт-Петербурге в обеспеченном культурном семействе, всё миллионное население города, значительная часть которого состоит из лиц разнообразных групп, могущих умереть раньше времени - солдат, журналистов, рабочих опасных профессий, - представляет группу слишком разнородную для настоящего определения вероятности); пусть этот общий ряд состоит из десяти тысяч человеческих жизней; в него входят меньшие ряды, представляющие число доживающих до того или другого возраста; один из этих меньших рядов представляет число доживающих до 80 лет. Но определить численность этого меньшего ряда (как и всех других) невозможно a priori ; это делается чисто индуктивным путем, посредством статистики . Положим, статистические исследования установили, что из 10000 петербуржцев среднего класса до 80 лет доживают только 45; таким образом, этот меньший ряд относится к большому, как 45 к 10000, и вероятность для данного лица принадлежать к этому меньшему ряду, то есть дожить до 80 лет, выражается дробью 0,0045. Исследование вероятности с математической точки зрения составляет особую дисциплину - теорию вероятностей .
См. также
Примечания
Литература
- Альфред Реньи. Письма о вероятности / пер. с венг. Д.Сааса и А.Крамли под ред. Б. В. Гнеденко. М.: Мир. 1970
- Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М., 2007. 42 с.
- Купцов В. И. Детерминизм и вероятность. М., 1976. 256 с.
Wikimedia Foundation . 2010 .
Синонимы :Антонимы :
Смотреть что такое "Вероятность" в других словарях:
Общенаучная и филос. категория, обозначающая количественную степень возможности появления массовых случайных событий при фиксированных условиях наблюдения, характеризующую устойчивость их относительных частот. В логике семантическая степень… … Философская энциклопедия
ВЕРОЯТНОСТЬ, число в интервале от нуля до единицы включительно, представляющее возможность свершения данного события. Вероятность события определяется как отношение числа шансов того, что событие может произойти, к общему количеству возможных… … Научно-технический энциклопедический словарь
По всей вероятности.. Словарь русских синонимов и сходных по смыслу выражений. под. ред. Н. Абрамова, М.: Русские словари, 1999. вероятность возможность, вероятие, шанс, объективная возможность, маза, допустимость, риск. Ant. невозможность… … Словарь синонимов
вероятность - Мера того, что событие может произойти. Примечание Математическое определение вероятности: «действительное число в интервале от 0 до 1, относящееся к случайному событию». Число может отражать относительную частоту в серии наблюдений… … Справочник технического переводчика
Вероятность - «математическая, числовая характеристика степени возможности появления какого либо события в тех или иных определенных, могущих повторяться неограниченное число раз условиях». Если исходить из этого классического… … Экономико-математический словарь
- (probability) Возможность наступления какого либо события или определенного результата. Может быть представлена в виде шкалы с делениями от 0 до 1. При нулевой вероятности события его наступление невозможно. При вероятности, равной 1, наступление … Словарь бизнес-терминов
Если события H 1 , H 2 , …, H n образуют полную группу, то для вычисления вероятности произвольного события можно использовать формулу полной вероятности:
P(А) = P(A/H 1)·P(H 1)+P(A/H 2)·P(H 2)
В соответствии с которой вероятность наступления события А может быть представлена как сумма произведений условных вероятностей события А при условии наступления событий H i на безусловные вероятности этих событий H i . Эти события H i называют гипотезами.
Из формулы полной вероятности следует формула Байеса :
Вероятности P(H i) гипотез H i называют априорными вероятностями - вероятности до проведения опытов.
Вероятности P(A/H i) называют апостериорными вероятностями – вероятности гипотез H i , уточненных в результате опыта.
Назначение сервиса . Онлайн-калькулятор предназначен для вычисления полной вероятности с оформлением всего хода решения в формате Word (см. примеры решения задач).
Пример №1
. Магазин получает электролампочки с двух заводов, причем доля первого завода составляет 25%. Известно, что доля брака на этих заводах равна соответственно 5 % и 10 % от всей выпускаемой продукции. Продавец наугад берет одну лампочку. Какова вероятность того, что она окажется бракованной?
Решение:
Обозначим через А событие - «лампочка окажется бракованной». Возможны следующие гипотезы о происхождении этой лампочки: H 1
- «лампочка поступила с первого завода». H 2
- «лампочка поступила со второгозавода». Так как доля первого завода составляет 25 %, то вероятности этих гипотез равны соответственно 
; 
.
Условная вероятность того, что бракованная лампочка выпущена первым заводом – 
, вторым заводом - p(A/H 2)
=
искомую вероятность того, что продавец взял бракованную лампочку, находим по формуле полной вероятности
0,25·0,05+0,75·0,10=0,0125+0,075=0.0875
Ответ: р(А)
= 0,0875.
Пример №2
. Магазин получил две равные по количеству партии одноименного товара. Известно что, 25% первой партии и 40% второй партии составляет товар первого сорта. Какова вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта?
Решение:
Обозначим через А событие - «товар окажется первого сорта». Возможны следующие гипотезы о происхождении этого товара: H 1
- «товар из первой партии». H 2
- «товар из второй партии». Так как доля первой партии составляет 25%, то вероятности этих гипотез равны соответственно ; 
.
Условная вероятность того, что товар из первой партии – 
, из второй партии - 
искомую вероятностьтого, что наугад выбранная единица товара будет первого сорта
р(А) = P(H 1)· p(A/H 1)+P(H 2)·(A/H 2)=
0,25·0,5+0,4·0,5=0,125+0,2=0.325
Тогда, вероятность того, что наугад выбранная единица товара будет не первого сорта будет равна: 1- 0.325 = 0,675
Ответ:
.
Пример №3
. Известно, что 5% мужчин и 1% женщин - дальтоники. Наугад выбранный человек оказалась не дальтоником. Какова вероятность, что это мужчина (считать, что мужчины и женщины поровну).
Решение
.
Событие A - наугад выбранный человек оказалась не дальтоником.
Найдем вероятность появления этого события.
P(A) = P(A|H=мужчина) + P(A|H=женщина) = 0.95*0.5 + 0.99*0.5 = 0.475 + 0.495 = 0.97
Тогда вероятность, что это мужчина составит: p = P(A|H=мужчина) / P(A) = 0.475/0.97 = 0.4897
Пример №4
. В спортивной олимпиаде принимают участие 4 студента с первого курса, с второго - 6, с третьей - 5. Вероятности того, что студент с первого, второго, третьего курса победит на олимпиаде, равны соответственно 0,9; 0,7 и 0,8.
а) Найдите вероятность победы наугад выбранным ее участником.
б) В условиях данной задачи один студент победил на олимпиаде. К какой группе он вероятнее всего принадлежит?
Решение
.
Событие A - победа наугад выбранного участника.
Здесь P(H1) = 4/(4+6+5) = 0.267, P(H2) = 6/(4+6+5) = 0.4, P(H3) = 5/(4+6+5) = 0.333,
P(A|H1) = 0.9, P(A|H2) = 0.7,P(A|H3) = 0.8
а) P(A) = P(H1)*P(A|H1) + P(H2)*P(A|H2) + P(H3)*P(A|H3) = 0.267*0.9 + 0.4*0.7 + 0.333*0.8 = 0.787
б) Решение можно получить, используя этот калькулятор.
p1 = P(H1)*P(A|H1)/P(A)
p2 = P(H2)*P(A|H2)/P(A)
p3 = P(H3)*P(A|H3)/P(A)
Из p1, p2, p3 выбрать максимальную.
Пример №5 . На предприятии имеется три станка одного типа. Один из них дает 20% общей продукции, второй – 30%, третий – 50 %. При этом первый станок производит 5% брака, второй 4%, третий – 2%. Найти вероятность того, что случайно отобранное негодное изделие выпущено первым станком.
Не будем долго размышлять о высоком — начнем сразу с определения.
Схема Бернулли — это когда производится n однотипных независимых опытов, в каждом из которых может появиться интересующее нас событие A , причем известна вероятность этого события P (A ) = p. Требуется определить вероятность того, что при проведении n испытаний событие A появится ровно k раз.
Задачи, которые решаются по схеме Бернулли, чрезвычайно разнообразны: от простеньких (типа «найдите вероятность, что стрелок попадет 1 раз из 10») до весьма суровых (например, задачи на проценты или игральные карты). В реальности эта схема часто применяется для решения задач, связанных с контролем качества продукции и надежности различных механизмов, все характеристики которых должны быть известны до начала работы.
Вернемся к определению. Поскольку речь идет о независимых испытаниях, и в каждом опыте вероятность события A одинакова, возможны лишь два исхода:
- A — появление события A с вероятностью p;
- «не А» — событие А не появилось, что происходит с вероятностью q = 1 − p.
Важнейшее условие, без которого схема Бернулли теряет смысл — это постоянство. Сколько бы опытов мы ни проводили, нас интересует одно и то же событие A , которое возникает с одной и той же вероятностью p.
Между прочим, далеко не все задачи в теории вероятностей сводятся к постоянным условиям. Об этом вам расскажет любой грамотный репетитор по высшей математике. Даже такое нехитрое дело, как вынимание разноцветных шаров из ящика, не является опытом с постоянными условиями. Вынули очередной шар — соотношение цветов в ящике изменилось. Следовательно, изменились и вероятности.
Если же условия постоянны, можно точно определить вероятность того, что событие A произойдет ровно k раз из n возможных. Сформулируем этот факт в виде теоремы:
Теорема Бернулли. Пусть вероятность появления события A в каждом опыте постоянна и равна р. Тогда вероятность того, что в n независимых испытаниях событие A появится ровно k раз, рассчитывается по формуле:
где C n k — число сочетаний, q = 1 − p.
Эта формула так и называется: формула Бернулли. Интересно заметить, что задачи, приведенные ниже, вполне решаются без использования этой формулы. Например, можно применить формулы сложения вероятностей. Однако объем вычислений будет просто нереальным.
Задача. Вероятность выпуска бракованного изделия на станке равна 0,2. Определить вероятность того, что в партии из десяти выпущенных на данном станке деталей ровно k будут без брака. Решить задачу для k = 0, 1, 10.
По условию, нас интересует событие A выпуска изделий без брака, которое случается каждый раз с вероятностью p = 1 − 0,2 = 0,8. Нужно определить вероятность того, что это событие произойдет k раз. Событию A противопоставляется событие «не A », т.е. выпуск бракованного изделия.
Таким образом, имеем: n = 10; p = 0,8; q = 0,2.
Итак, находим вероятность того, что в партии все детали бракованные (k = 0), что только одна деталь без брака (k = 1), и что бракованных деталей нет вообще (k = 10):
Задача. Монету бросают 6 раз. Выпадение герба и решки равновероятно. Найти вероятность того, что:
- герб выпадет три раза;
- герб выпадет один раз;
- герб выпадет не менее двух раз.
Итак, нас интересует событие A , когда выпадает герб. Вероятность этого события равна p = 0,5. Событию A противопоставляется событие «не A », когда выпадает решка, что случается с вероятностью q = 1 − 0,5 = 0,5. Нужно определить вероятность того, что герб выпадет k раз.
Таким образом, имеем: n = 6; p = 0,5; q = 0,5.
Определим вероятность того, что герб выпал три раза, т.е. k = 3:
Теперь определим вероятность того, что герб выпал только один раз, т.е. k = 1:
Осталось определить, с какой вероятностью герб выпадет не менее двух раз. Основная загвоздка — во фразе «не менее». Получается, что нас устроит любое k , кроме 0 и 1, т.е. надо найти значение суммы X = P 6 (2) + P 6 (3) + ... + P 6 (6).
Заметим, что эта сумма также равна (1 − P 6 (0) − P 6 (1)), т.е. достаточно из всех возможных вариантов «вырезать» те, когда герб выпал 1 раз (k = 1) или не выпал вообще (k = 0). Поскольку P 6 (1) нам уже известно, осталось найти P 6 (0):
Задача. Вероятность того, что телевизор имеет скрытые дефекты, равна 0,2. На склад поступило 20 телевизоров. Какое событие вероятнее: что в этой партии имеется два телевизора со скрытыми дефектами или три?
Интересующее событие A — наличие скрытого дефекта. Всего телевизоров n = 20, вероятность скрытого дефекта p = 0,2. Соответственно, вероятность получить телевизор без скрытого дефекта равна q = 1 − 0,2 = 0,8.
Получаем стартовые условия для схемы Бернулли: n = 20; p = 0,2; q = 0,8.
Найдем вероятность получить два «дефектных» телевизора (k = 2) и три (k = 3):
\[\begin{array}{l}{P_{20}}\left(2 \right) = C_{20}^2{p^2}{q^{18}} = \frac{{20!}}{{2!18!}} \cdot {0,2^2} \cdot {0,8^{18}} \approx 0,137\\{P_{20}}\left(3 \right) = C_{20}^3{p^3}{q^{17}} = \frac{{20!}}{{3!17!}} \cdot {0,2^3} \cdot {0,8^{17}} \approx 0,41\end{array}\]
Очевидно, P 20 (3) > P 20 (2), т.е. вероятность получить три телевизора со скрытыми дефектами больше вероятности получить только два таких телевизора. Причем, разница неслабая.
Небольшое замечание по поводу факториалов. Многие испытывают смутное ощущение дискомфорта, когда видят запись «0!» (читается «ноль факториал»). Так вот, 0! = 1 по определению.
P . S . А самая большая вероятность в последней задаче — это получить четыре телевизора со скрытыми дефектами. Подсчитайте сами — и убедитесь.