Что такое частота гармонических колебаний. Колебания

Изменения какой- либо величины описывают с помощью законов синуса или косинуса, то такие колебания называют гармоническими. Рассмотрим контур, из конденсатора (который перед включением в цепь зарядили) и катушки индуктивности (рис.1).

Рисунок 1.

Уравнение гармонических колебаний можно записать следующим образом:

$q=q_0cos({\omega }_0t+{\alpha }_0)$ (1)

где $t$-время; $q$ заряд, $q_0$-- максимальное отклонение заряда от своего среднего (нулевого) значения в ходе изменений; ${\omega }_0t+{\alpha }_0$- фаза колебаний; ${\alpha }_0$- начальная фаза; ${\omega }_0$- циклическая частота. За период фаза меняется на $2\pi $.

Уравнение вида:

уравнение гармонических колебаний в дифференциальном виде для колебательного контура, который не будет содержать активного сопротивления.

Любой вид периодических колебаний можно точности представить как сумму гармонических колебаний, так называемого гармонического ряда.

Для периода колебаний цепи, которая состоит из катушки и конденсатора мы получим формулу Томсона:

Если мы продифференцируем выражение (1) по времени, то можем получить формулу фунци $I(t)$:

Напряжение на конденсаторе, можно найти как:

Из формул (5) и (6) следует, что сила тока опережает напряжение на конденсаторе на $\frac{\pi }{2}.$

Гармонические колебания можно представлять как в виде уравнений, функций так и векторными диаграммами.

Уравнение (1) представляет свободные незатухающие колебания.

Уравнение затухающих колебаний

Изменение заряда ($q$) на обкладках конденсатора в контуре, при учете сопротивления (рис.2) будет описываться дифференциальным уравнением вида:

Рисунок 2.

Если сопротивление, которое входит в состав контура $R \

где $\omega =\sqrt{\frac{1}{LC}-\frac{R^2}{4L^2}}$ -- циклическая частота колебаний. $\beta =\frac{R}{2L}-$коэффициент затухания. Амплитуда затухающих колебаний выражается как:

В том случае, если при $t=0$ заряд на конденсаторе равен $q=q_0$, тока в цепи нет, то для $A_0$ можно записать:

Фаза колебаний в начальный момент времени (${\alpha }_0$) равна:

При $R >2\sqrt{\frac{L}{C}}$ изменение заряда не является колебаниями, разряд конденсатора называют апериодическим.

Пример 1

Задание: Максимальное значение заряда равно $q_0=10\ Кл$. Он изменяется гармонически с периодом $T= 5 c$. Определите максимально возможную силу тока.

Решение:

В качестве основания для решения задачи используем:

Для нахождения силы тока выражение (1.1) необходимо продифференцировать по времени:

где максимальным (амплитудным значением) силы тока является выражение:

Из условий задачи нам известно амплитудное значение заряда ($q_0=10\ Кл$). Следует найти собственную частоту колебаний. Ее выразим как:

\[{\omega }_0=\frac{2\pi }{T}\left(1.4\right).\]

В таком случае искомая величина будет найдена при помощи уравнений (1.3) и (1.2) как:

Так как все величины в условиях задачи представлены в системе СИ, проведем вычисления:

Ответ: $I_0=12,56\ А.$

Пример 2

Задание: Каков период колебаний в контуре, который содержит катушку индуктивности $L=1$Гн и конденсатор, если сила тока в контуре изменяется по закону: $I\left(t\right)=-0,1sin20\pi t\ \left(A\right)?$ Какова емкость конденсатора?

Решение:

Из уравнения колебаний силы тока, которое приведено в условиях задачи:

мы видим, что ${\omega }_0=20\pi $, следовательно, мы можем вычислить период Колебаний по формуле:

\ \

По формуле Томсона для контура, который содержит катушку индуктивности и конденсатор, мы имеем:

Вычислим емкость:

Ответ: $T=0,1$ c, $C=2,5\cdot {10}^{-4}Ф.$

Гармонические колебания – колебания, совершаемые по законам синуса и косинуса. На следующем рисунке представлен график изменения координаты точки с течением времени по закону косинуса.

картинка

Амплитуда колебаний

Амплитудой гармонического колебания называется наибольшее значение смещения тела от положения равновесия. Амплитуда может принимать различные значения. Она будет зависеть от того, насколько мы сместим тело в начальный момент времени от положения равновесия.

Амплитуда определяется начальными условиями, то есть энергией сообщаемой телу в начальный момент времени. Так как синус и косинус могут принимать значения в диапазоне от -1 до 1, то в уравнении должен присутствовать множитель Xm, выражающий амплитуду колебаний. Уравнение движения при гармонических колебаниях:

x = Xm*cos(ω0*t).

Период колебаний

Период колебаний – это время совершения одного полного колебания. Период колебания обозначается буквой Т. Единицы измерения периода соответствуют единицам времени. То есть в СИ - это секунды.

Частота колебаний – количество колебаний совершенных в единицу времени. Частота колебаний обозначается буквой ν. Частоту колебаний можно выразить через период колебания.

ν = 1/Т.

Единицы измерения частоты в СИ 1/сек. Эта единица измерения получила название Герца. Число колебаний за время 2*pi секунд будет равняться:

ω0 = 2*pi* ν = 2*pi/T.

Частота колебаний

Данная величина называется циклической частотой колебаний. В некоторой литературе встречается название круговая частота. Собственная частота колебательной системы – частота свободных колебаний.

Частота собственных колебаний рассчитывается по формуле:

Частота собственных колебаний зависит от свойств материала и массы груза. Чем больше жесткость пружины, тем больше частота собственных колебаний. Чем больше масса груза, тем меньше частота собственных колебаний.

Эти два вывода очевидны. Чем более жесткая пружина, тем большее ускорение она сообщит телу, при выведении системы из равновесия. Чем больше масса тела, тем медленнее будет изменяться это скорость этого тела.

Период свободных колебаний :

T = 2*pi/ ω0 = 2*pi*√(m/k)

Примечателен тот факт, что при малых углах отклонения период колебания тела на пружине и период колебания маятника не будут зависеть от амплитуды колебаний.

Запишем формулы периода и частоты свободных колебаний для математического маятника.

тогда период будет равен

T = 2*pi*√(l/g).

Данная формула будет справедлива лишь для малых углов отклонения. Из формулы видим, что период колебаний возрастает с увеличением длины нити маятника. Чем больше будет длина, тем медленнее тело будет колебаться.

От массы груза период колебаний совершенно не зависит. Зато зависит от ускорения свободного падения. При уменьшении g, период колебаний будет увеличиваться. Данное свойство широко используют на практике. Например, для измерения точного значения свободного ускорения.

Наряду с поступательными и вращательными движениями тел в механике значительный интерес представляют и колебательные движения. Механическими колебаниями называют движения тел, повторяющиеся точно (или приблизительно) через одинаковые промежутки времени. Закон движения тела, совершающего колебания, задается с помощью некоторой периодической функции времени x = f (t ). Графическое изображение этой функции дает наглядное представление о протекании колебательного процесса во времени.

Примерами простых колебательных систем могут служить груз на пружине или математический маятник (рис. 2.1.1).

Механические колебания, как и колебательные процессы любой другой физической природы, могут быть свободными и вынужденными . Свободные колебания совершаются под действием внутренних сил системы, после того, как система была выведена из состояния равновесия. Колебания груза на пружине или колебания маятника являются свободными колебаниями. Колебания, происходящие под действием внешних периодически изменяющихся сил, называются вынужденными .

Простейшим видом колебательного процесса являются простые гармонические колебания , которые описываются уравнением

Здесь x - смещение тела от положения равновесия, x m - амплитуда колебаний, т. е. максимальное смещение от положения равновесия, ω - циклическая или круговая частота колебаний, t - время. Величина, стоящая под знаком косинуса φ = ωt + φ 0 называется фазой гармонического процесса. При t = 0 φ = φ 0 , поэтому φ 0 называют начальной фазой . Минимальный интервал времени, через который происходит повторение движения тела, называется периодом колебаний T . Физическая величина, обратная периоду колебаний, называется частотой колебаний :

Частота колебаний f показывает, сколько колебаний совершается за 1 с. Единица частоты - герц (Гц). Частота колебаний f связана с циклической частотой ω и периодом колебаний T соотношениями:

На рис. 2.1.2 изображены положения тела через одинаковые промежутки времени при гармонических колебаниях. Такую картину можно получить экспериментально при освещении колеблющегося тела короткими периодическими вспышками света (стробоскопическое освещение ). Стрелки изображают векторы скорости тела в различные моменты времени.

Рис. 2.1.3 иллюстрирует изменения, которые происходят на графике гармонического процесса, если изменяются либо амплитуда колебаний x m , либо период T (или частота f ), либо начальная фаза φ 0 .

При колебательном движении тела вдоль прямой линии (ось OX ) вектор скорости направлен всегда вдоль этой прямой. Скорость υ = υx движения тела определяется выражением

В математике процедура нахождения предела отношения при Δt → 0 называется вычислением производной функции x (t ) по времени t и обозначается как или как x" (t ) или, наконец, как . Для гармонического закона движения Вычисление производной приводит к следующему результату:

Появление слагаемого + π / 2 в аргументе косинуса означает изменение начальной фазы. Максимальные по модулю значения скорости υ = ωx m достигаются в те моменты времени, когда тело проходит через положения равновесия (x = 0). Аналогичным образом определяется ускорение a = a x тела при гармонических колебаниях:

следовательно, ускорение a равно производной функции υ (t ) по времени t , или второй производной функции x (t ). Вычисления дают:

Знак минус в этом выражении означает, что ускорение a (t ) всегда имеет знак, противоположный знаку смещения x (t ), и, следовательно, по второму закону Ньютона сила, заставляющая тело совершать гармонические колебания, направлена всегда в сторону положения равновесия (x = 0).

(лат. amplitude — величина) — это наибольшее отклонение колеблющегося тела от положения равновесия.

Для маятника это максимальное расстояние, на которое удаляется ша-рик от своего положения равновесия (рисунок ниже). Для колебаний с малыми амплитудами за такое расстояние можно принимать как длину дуги 01 или 02, так и длины этих отрезков.

Амплитуда колебаний измеряется в единицах длины — метрах , санти-метрах и т. д. На графике колебаний амплитуда определяется как макси-мальная (по модулю) ордината синусоидальной кривой, (см. рис. ниже).

Период колебаний.

Период колебаний — это наименьший промежуток времени, через который система, соверша-ющая колебания, снова возвращается в то же состояние, в котором она находилась в начальный момент времени, выбранный произвольно.

Другими словами, период колебаний (Т ) — это время, за которое совершается одно полное ко-лебание. Например, на рисунке ниже это время, за которое грузик маятника перемещается из крайней правой точки через точку равновесия О в крайнюю левую точку и обратно через точку О снова в крайнюю правую.

За полный период колебаний, таким образом, тело проходит путь, равный четы-рем амплитудам. Период колебаний измеряется в единицах времени — секундах , минутах и т. д. Период колебаний может быть определен по известному графику колебаний, (см. рис. ниже).

Понятие «период колебаний», строго говоря, справедливо, лишь когда значения колеблющей-ся величины точно повторяются через определенный промежуток времени, т. е. для гармоничес-ких колебаний. Однако это понятие применяется также и для случаев приблизительно повторяю-щихся величин, например, для затухающих колебаний .

Частота колебаний.

Частота колебаний — это число колебаний, совершаемых за единицу времени, например, за 1 с .

Единица частоты в СИ названа герцем (Гц ) в честь немецкого физика Г. Герца (1857-1894). Если частота колебаний (v ) равна 1 Гц , то это значит, что за каждую секунду совершается одно колебание. Частота и период колебаний связаны соотношениями:

В теории колебаний пользуются также понятием циклической , или круговой частоты ω . Она связана с обычной частотой v и периодом колебаний Т соотношениями:

.

Циклическая частота — это число колебаний, совершаемых за 2π секунд.

Это периодическое колебание, при котором координата, скорость, ускорение, характеризующие движение, изменяются по закону синуса или косинуса. Уравнение гармонического колебания устанавливает зависимость координаты тела от времени

График косинуса в начальный момент имеет максимальное значение, а график синуса имеет в начальный момент нулевое значение. Если колебание начинаем исследовать из положения равновесия, то колебание будет повторять синусоиду. Если колебание начинаем рассматривать из положения максимального отклонения, то колебание опишет косинус. Или такое колебание можно описать формулой синуса с начальной фазой .

Математический маятник

Уравнение состояния идеального газа. Газовые законы.

Числа степеней свободы : это число независимых переменных (координат), которые полностью определяют положение системы в пространстве. В некоторых задачах молекулу одноатомного газа (рис. 1, а) рассматривают как материальную точку, которой задают три степени свободы поступательного движения. При этом не учитывается энергия вращательного движения. В механике молекула двухатомного газа в первом приближении считается совокупностью двух материальных точек, которые жестко связанны недеформируемой связью (рис. 1, б). Данная система кроме трех степеней свободы поступательного движения имеет еще две степени свободы вращательного движения. Вращение вокруг третьей оси, проходящей через оба атома, лишено смысла. Значит, у двухатомного газа пять степеней свободы (i = 5). У трехатомной (рис. 1, в) и многоатомной нелинейной молекулы шесть степеней свободы: три поступательных и три вращательных. Естественно считать, что жесткой связи между атомами не существует. Поэтому необходимо учитывать для реальных молекул также степени свободы колебательного движения.

При любом числе степеней свободы данной молекулы три степени свободы всегда поступательные. Ни одна из поступательных степеней свободы не имеет преимущества перед другими, значит на каждую из них приходится в среднем одинаковая энергия, равная 1/3 значения <ε 0 > (энергия поступательного движения молекул): В статистической физике выводится закон Больцмана о равномерном распределении энергии по степеням свободы молекул : для статистической системы, которая находится в состоянии термодинамического равновесия, на каждую поступательную и вращательную степени свободы приходится в среднем кинетическая энергия, равная kT/2, а на каждую колебательную степень свободы - в среднем энергия, равная kT. Колебательная степень обладает вдвое большей энергией, т.к. на нее приходится как кинетическая энергия (как в случае поступательного и вращательного движений), так и потенциальная, причем средние значения потенциальной и кинетической и энергии одинаковы. Значит, средняя энергия молекулы где i - сумма числа поступательных, числа вращательных в удвоенного числа колеба¬тельных степеней свободы молекулы:i =i пост +i вращ +2i колеб В классической теории рассматривают молекулы с жесткой связью между атомами; для них i совпадает с числом степеней свободы молекулы. Так как в идеальном газе взаимная потенциальная энергия взаимодействия молекул равна нулю (молекулы между собой не взаимодействуют), то внутренняя энергия для одного моля газа, будет равна сумме кинетических энергий N A молекул: (1) Внутренняя энергия для произвольной массы m газа. где М - молярная масса, ν - количество вещества.