Сформулируйте определение параллельных прямой и плоскости. Взаимное расположение прямой и плоскости в пространстве
Статья рассматривает понятия параллельность прямой и плоскости.Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры. Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Определение 1
Прямая и плоскость называются параллельными , если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.
Параллельность обозначается « ∥ ». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид a ∥ α . Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.
Считается, что прямая a , параллельная плоскости α и плоскость α , параллельная прямой a , равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.
Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности
Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости.Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.
Теорема 1
Если заданная прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна прямой b , которая принадлежит плоскости α , тогда прямая a параллельна плоскости α .
Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.
Теорема 2
Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.
Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10 - 11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.
Теорема 3
Для параллельности прямой a , не принадлежащей плоскости α , и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.
Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.
Доказательство
Допустим, прямая а в систему координат О х у задается каноническими уравнениями прямой в пространстве, которые имеют вид x - x 1 a x = y - y 1 a y = z - z 1 a z или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x = x 1 + a x · λ y = y 1 + a y · λ z = z 1 + a z · λ , плоскостью α с общими уравнениями плоскости A x + B y + C z + D = 0 .
Отсюда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором с координатами прямой а, n → = (A , B , C) - нормальным вектором заданной плоскости альфа.
Чтобы доказать перпендикулярность n → = (A , B , C) и a → = (a x , a y , a z) , нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.
Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Отсюда a → = (a x , a y , a z) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n → = (A , B , C) - нормальным вектором плоскости α .
Пример 1
Определить, параллельны ли прямая x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ с плоскостью x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
Решение
Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M (1 , - 2 , 2) не подходят. При подстановке получаем, что 1 + 6 · (- 2) + 5 · 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x = 1 + 2 · λ y = - 2 + 3 · λ z = 2 - 4 · λ имеют значения a → = (2 , 3 , - 4) .
Нормальным вектором для плоскости x + 6 y + 5 z + 4 = 0 считается n → = (1 , 6 , 5) . Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a → и n → . Получим, что a → , n → = 2 · 1 + 3 · 6 + (- 4) · 5 = 0 .
Значит, перпендикулярность векторов a → и n → очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.
Ответ: прямая с плоскостью параллельны.
Пример 2
Определить параллельность прямой А В в координатной плоскости О у z , когда даны координаты A (2 , 3 , 0) , B (4 , - 1 , - 7) .
Решение
По условию видно, что точка A (2 , 3 , 0) не лежит на оси О х, так как значение x не равно 0 .
Для плоскости O x z вектор с координатами i → = (1 , 0 , 0) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой A B как A B → . Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора A B . Получим, что A B → = (2 , - 4 , - 7) . Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов A B → = (2 , - 4 , - 7) и i → = (1 , 0 , 0) , чтобы определить их перпендикулярность.
Запишем A B → , i → = 2 · 1 + (- 4) · 0 + (- 7) · 0 = 2 ≠ 0 .
Отсюда следует, что прямая А В с координатной плоскостью О y z не являются параллельными.
Ответ: не параллельны.
Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α . Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.
При заданной прямой a с помощью уравнения двух пересекающихся плоскостей A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , плоскостью α - общим уравнением плоскости A x + B y + C z + D = 0 .
Теорема 4
Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .
Доказательство
Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат О х у z не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , а также уравнению плоскости A x + B y + C z + D = 0 .
Следовательно, система уравнений, имеющая вид A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , называется несовместной.
Верно обратное: при отсутствии решений системы A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не существует точек в О х у z , удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 и уравнения A x + B y + C z + D = 0 . Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.
Система уравнений A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.
Пример 3
Доказать, что прямая x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 параллельна плоскости 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Решение
Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 · x = - 1 · (y + 2) 3 · x = - 1 · z 3 · (y + 2) = - 1 · z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Чтобы доказать параллельность заданной прямой x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 с плоскостью 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.
Расписав уравнения, получаем, что 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.
Делаем вывод, что прямая x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 и плоскость 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.
Ответ: прямая и плоскость параллельны.
Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
В этой статье всесторонне раскрыта тема «параллельность прямой и плоскости ». Сначала дано определение параллельных прямой и плоскости, приведена графическая иллюстрация и пример. Далее сформулирован признак параллельности прямой и плоскости, а также озвучены необходимые и достаточные условия параллельности прямой и плоскости. В заключении приведены развернутые решения задач, в которых доказывается параллельность прямой и плоскости.
Навигация по странице.
Параллельные прямая и плоскость – основные сведения.
Начнем с определения параллельных прямой и плоскости.
Определение.
Прямая и плоскость называются параллельными , если они не имеют общих точек.
Для обозначения параллельности используется символ «». То есть, если прямая a и плоскость параллельны, то можно кратко записать a .
Заметим, что выражения «прямая a и плоскость параллельны», «прямая a параллельна плоскости » и «плоскость параллельна прямой a » одинаково употребимы.
В качестве примера параллельных прямой и плоскости приведем натянутую гитарную струну и плоскость грифа этой гитары.
Параллельность прямой и плоскости - признак и условия параллельности.
Параллельность прямой и плоскости далеко не всегда является очевидным фактом. Другими словами, параллельность прямой и плоскости приходится доказывать. Существует достаточное условие, выполнение которого гарантирует параллельность прямой и плоскости. Это условие называют признаком параллельности прямой и плоскости . Прежде чем ознакомиться с формулировкой этого признака, рекомендуем повторить определение параллельных прямых .
Теорема.
Если прямая a , не лежащая в плоскости , параллельна некоторой прямой b , которая лежит в плоскости , то прямая a параллельна плоскости .
Озвучим еще одну теорему, которую можно использовать для установления параллельности прямой и плоскости.
Теорема.
Если одна из двух параллельных прямых параллельна некоторой плоскости, то вторая прямая либо также параллельна этой плоскости, либо лежит в ней.
Доказательство признака параллельности прямой и плоскости и доказательство озвученной теоремы приводятся в учебнике геометрии за 10 -11 классы, который указан в конце статьи в списке рекомендованной литературы.
Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямой a и плоскости (a не лежит в плоскости ) примет вид , где - направляющий вектор прямой a , - нормальный вектор плоскости .
Разберем решения нескольких примеров.
Пример.
Являются ли прямая и плоскость параллельными?
Решение.
Заданная прямая не лежит в плоскости, так как координаты точки прямой не удовлетворяют уравнению плоскости: . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия параллельности прямой и плоскости. Очевидно, - направляющий вектор прямой , - нормальный вектор плоскости . Вычислим скалярное произведение векторов и : . Таким образом, векторы и перпендикулярны. Следовательно, заданные прямая и плоскость параллельны.
Ответ:
Да, прямая и плоскость параллельны.
Пример.
Параллельна ли прямая АВ координатной плоскости Oyz , если .
Решение.
Точка не лежит в координатной плоскости Oyz , так как абсцисса этой точки отлична от нуля.
Нормальным вектором плоскости Oyz является вектор . В качестве направляющего вектора прямой AB возьмем вектор . позволяют вычислить координаты этого вектора, тогда . Проверим выполнение необходимого и достаточного условия перпендикулярности векторов и : . Следовательно, прямая AB и координатная плоскость Oyz не параллельны.
Ответ:
Нет, не параллельны.
Разобранное условие не совсем удобно для доказательства параллельности прямой a и плоскости , так как отдельно приходится проверять, что прямая a не лежит в плоскости . Поэтому, доказывать параллельность прямой a и плоскости удобнее с помощью следующего необходимого и достаточного условия.
Пусть прямая a
задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей ,
а плоскость - общим уравнением плоскости .
Теорема.
Для параллельности прямой a и плоскости необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений вида не имела решений.
Доказательство.
Действительно, если прямая a параллельна плоскости , то они по определению не имеют общих точек. Следовательно, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Значит, система уравнений вида несовместна.
И обратно: если система уравнений вида не имеет решений, то не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат Oxyz , координаты которой удовлетворяли бы одновременно всем уравнениям системы. Тогда, не существует точки, координаты которой одновременно удовлетворяют и уравнениям прямой и уравнению плоскости . Следовательно, прямая a и плоскость не имеют общих точек, то есть, они параллельны.
В свою очередь система уравнений не имеет решений, когда основной матрицы системы меньше ранга расширенной матрицы (это следует из теоремы Кронекера-Капелли, при необходимости смотрите статью решение систем линейных уравнений
Действительно, система уравнений несовместна, следовательно, заданные прямая и плоскость не имеют общих точек. Этим доказана параллельность прямой и плоскости .
Список литературы.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Позняк Э.Г., Юдина И.И. Геометрия. 7 – 9 классы: учебник для общеобразовательных учреждений.
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Киселева Л.С., Позняк Э.Г. Геометрия. Учебник для 10-11 классов средней школы.
- Погорелов А.В., Геометрия. Учебник для 7-11 классов общеобразовательных учреждений.
- Бугров Я.С., Никольский С.М. Высшая математика. Том первый: элементы линейной алгебры и аналитической геометрии.
- Ильин В.А., Позняк Э.Г. Аналитическая геометрия.
Copyright by cleverstudents
Все права защищены.
Охраняется законом об авторском праве. Ни одну часть сайта www.сайт, включая внутренние материалы и внешнее оформление, нельзя воспроизводить в какой-либо форме или использовать без предварительного письменного разрешения правообладателя.
Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!
Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.
Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.
Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.
Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.
Все возможные случаи взаимного расположения прямой и плоскости в пространстве :
Прямая лежит на плоскости, если все точки прямой принадлежат плоскости .
Замечание . Для того, чтобы прямая лежала на плоскости, необходимо и достаточно, чтобы две любые точки этой прямой принадлежали этой плоскости.
Прямая пересекает плоскость, если прямая и плоскость имеют единственную общую точку
Прямая параллельна плоскости, если прямая и плоскость не имеют общих точек . (они не пересекаются
Утверждение 1 . Предположим, что прямая a и плоскость α параллельны, а плоскость β проходит через прямую a . Тогда возможны два случая:
Но тогда точка P оказывается точкой пересечения прямой a и плоскости α , и мы получаем противоречие с тем, что прямая a и плоскость α параллельны. Полученное противоречие и завершает доказательство утверждения 1.
Утверждение 2 (признак параллельности прямой и плоскости) . Если прямая a , не лежащая в плоскости α , параллельна некоторой прямой b , лежащей в плоскости α , то прямая a и плоскость α параллельны.
Доказательство. Докажем признак параллельности прямой и плоскости "от противного". Предположим, что прямая a пересекает плоскость α в некоторой точке P . Проведем плоскость β через параллельные прямые a и b .
Точка P лежит на прямой a и принадлежит плоскости β. Но по предположению точка P принадлежит и плоскости α , следовательно точка P лежит на прямой b , по которой пересекаются плоскости α и β . Однако прямые a и b параллельны по условию и не могут иметь общих точек.
Полученное противоречие завершает доказательство признака параллельности прямой и плоскости.
Теоремы
- Если прямая, пересекающая плоскость, перпендикулярна двум прямым, лежащим в этой плоскости и проходящим через точку пересечения данной прямой и плоскости, то она перпендикулярна плоскости.
- Если плоскость перпендикулярна одной из двух параллельных прямых, то она перпендикулярна и другой.
- Если две прямые перпендикулярны одной и той же плоскости, то они параллельны.
- Если прямая, лежащая в плоскости, перпендикулярна проекции наклонной, то она перпендикулярна и самой наклонной.
- Если прямая, не лежащая в данной плоскости, параллельна какой-нибудь прямой, расположенной в этой плоскости, то она параллельна этой плоскости.
- Если прямая параллельна плоскости, то она параллельна некоторой прямой на этой плоскости.
- Если прямая и плоскость перпендикулярны одной и той же прямой, то они параллельны.
- Все точки прямой, параллельной плоскости, одинаково удалены от этой плоскости.