Произведение сторон на косинус угла между. Теорема косинусов

Не все школьники, а тем более взрослые, знают, что теорема косинусов напрямую связана с теоремой Пифагора. Точнее сказать, последняя является частным случаем первой. Этот момент, а также два способа доказательства теоремы косинусов помогут стать более знающим человеком. К тому же практика в выражении величин из исходных выражений хорошо развивает логическое мышление. Длинная формула изучаемой теоремы обязательно заставит потрудиться и посовершенствоваться.

Начало разговора: введение обозначений

Эта теорема формулируется и доказывается для произвольного треугольника. Поэтому ею можно воспользоваться всегда, в любой ситуации, если даны две стороны, а в некоторых случаях три, и угол, причем необязательно между ними. Каким бы ни был вид треугольника, теорема сработает всегда.

А теперь про обозначение величин во всех выражениях. Лучше сразу договориться, чтобы потом несколько раз не пояснять. Для этого составлена следующая таблица.

Формулировка и математическая запись

Итак, формулируется теорема косинусов следующим образом:

Квадрат стороны любого треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих же сторон на косинус угла, лежащего между ними.

Конечно, оно длинное, но если понять его суть, то запомнить будет просто. Можно даже представлять себе чертеж треугольника. Наглядно всегда проще запоминать.

Формула же этой теоремы будет выглядеть так:

Немного длинно, но все логично. Если немного внимательнее посмотреть, то можно увидеть, что буквы повторяются, значит, и запомнить ее несложно.

Распространенное доказательство теоремы

Поскольку она справедлива для всех треугольников, то можно выбрать для рассуждений любой из видов. Пусть это будет фигура со всеми острыми углами. Рассмотрим произвольный остроугольный треугольник, у которого угол С больше, чем угол В. Из вершины с этим большим углом нужно опустить перпендикуляр на противоположную сторону. Проведенная высота разделит треугольник на два прямоугольных. Это потребуется для доказательства.

Сторона окажется разделенной на два отрезка: х, у. Их нужно выразить через известные величины. Та часть, которая окажется в треугольнике с гипотенузой, равной в, выразится через запись:

х = в * cos А.

Другая будет равна такой разности:

у = с - в * cos А.

Теперь нужно записать теорему Пифагора для двух получившихся в результате построения прямоугольных треугольников, принимая за неизвестную величину высоту. Эти формулы будут выглядеть так:

н 2 = в 2 - (в * cos А) 2 ,

н 2 = а 2 - (с - в * cos А) 2 .

В этих равенствах стоят одинаковые выражения слева. Значит, их правые части тоже будут равны. Это просто записать. Теперь нужно раскрыть скобки:

в 2 - в 2 * (cos А) 2 = а 2 - с 2 + 2 с * в * cos А - в 2 * (cos А) 2 .

Если здесь выполнить перенос и приведение подобных слагаемых, то получится начальная формула, которая записана после формулировки, то есть теорема косинусов. Доказательство закончено.

Доказательство теоремы через векторы

Оно гораздо короче предыдущего. И если знать свойства векторов, то теорема косинусов для треугольника будет доказана просто.

Если стороны а, в, с обозначить соответственно векторами ВС, АС и АВ, то справедливо равенство:

ВС = АС - АВ.

Теперь нужно выполнить некоторые действия. Первое из них — это возведение в квадрат обеих частей равенства:

ВС 2 = АС 2 + АВ 2 - 2 АС * АВ.

Потом равенство нужно переписать в скалярном виде, учитывая то, что произведение векторов равно косинусу угла между ними на их скалярные значения:

ВС 2 = АС 2 + АВ 2 - 2 АС * АВ * cos А.

Осталось только вернуться к старым обозначениям, и снова получится теорема косинусов:

а 2 = в 2 + с 2 - 2 * в * с * cos А.

Формулы для других сторон и всех углов

Чтобы найти сторону, из теоремы косинусов нужно извлечь квадратный корень. Формула для квадратов одной из других сторон будет выглядеть так:

с 2 = а 2 + в 2 - 2 * а * в * cos C.

Чтобы записать выражение для квадрата стороны в , нужно в предыдущем равенстве заменить с на в , и наоборот, и под косинусом поставить угол В.

Из основной формулы теоремы можно выразить значение косинуса угла А:

cos А = (в 2 + с 2 - а 2) / (2 в * с).

Аналогично выводятся формулы для других углов. Это хорошая практика, поэтому можно попробовать написать их самостоятельно.

Естественно, что запоминать эти формулы нет необходимости. Достаточно понимания теоремы и умения вывести эти выражения из ее основной записи.

Исходная формула теоремы дает возможность найти сторону, если угол лежит не между двумя известными. К примеру, нужно найти в , когда даны величины: а, с, А . Или неизвестна с , зато есть значения а, в, А .

В этой ситуации нужно перенести все слагаемые формулы в левую сторону. Получится такое равенство:

с 2 - 2 * в * с * cos А + в 2 - а 2 = 0.

Перепишем его немного в другом виде:

с 2 - (2 * в * cos А) * с + (в 2 - а 2) = 0.

Можно легко увидеть квадратное уравнение. В нем неизвестная величина - с , а все остальные даны. Поэтому его достаточно решить с помощью дискриминанта. Так будет найдена неизвестная сторона.

Аналогично получается формула для второй стороны:

в 2 - (2 * с * cos А) * в + (с 2 - а 2) = 0.

Из других выражений такие формулы тоже легко получить самостоятельно.

Как без вычисления косинуса узнать вид угла?

Если внимательно посмотреть на формулу косинуса угла, выведенную ранее, то можно заметить следующее:

• знаменатель дроби - всегда положительное число, потому что в нем стоит произведение сторон, которые не могут быть отрицательными;
• значение угла будет зависеть от знака числителя.

Угол А будет:

• острым в ситуации, когда числитель больше нуля;
• тупым, если это выражение отрицательное;
• прямым при его равенстве нулю.

Кстати, последняя ситуация обращает теорему косинусов в теорему Пифагора. Потому что для угла в 90º его косинус равен нулю, и последнее слагаемое исчезает.

Первая задача

Условие

Тупой угол некоторого произвольного треугольника равен 120º. О сторонах, которыми он ограничен, известно, что одна из них больше другой на 8 см. Известна длина третьей стороны, это 28 см. Требуется найти периметр треугольника.

Решение

Сначала нужно обозначить одну из сторон буквой «х». В таком случае другая будет равна (х + 8). Поскольку есть выражения для всех трех сторон, можно воспользоваться формулой, которую дает теорема косинусов:

28 2 = (х + 8) 2 + х 2 - 2 * (х + 8) * х * cos 120º.

В таблицах для косинусов нужно найти значение, соответствующее 120 градусам. Это будет число 0,5 со знаком минус. Теперь полагается раскрыть скобки, соблюдая все правила, и привести подобные слагаемые:

784 = х 2 + 16х + 64 + х 2 - 2х * (-0,5) * (х + 8);

784 = 2х 2 + 16х + 64 + х 2 + 8х;

3х 2 + 24х - 720 = 0.

Это квадратное уравнение решается через нахождение дискриминанта, который будет равен:

Д = 24 2 - 4 * 3 * (- 720) = 9216.

Поскольку его значение больше нуля, то уравнение имеет два ответа-корня.

х 1 = ((-24) + √(9216)) / (2 * 3) = 12;

х 2 = ((-24) - √(9216)) / (2 * 3) = -20.

Последний корень не может быть ответом задачи, потому что сторона обязательно должна быть положительной.

Формулировка: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для произвольного треугольника ABC и его сторон a,b и с (противолежащих к соответствующим вершинам) это равенство можно записать и для двух других сторон:

Теорема косинусов используется для решения треугольников в двух главных ситуациях:

1) Когда даны две стороны и угол между ними, а требуется найти последнюю сторону:

2) Когда даны все три стороны треугольника, а требуется найти его углы:

Иногда репетитор по математике рекомендует использовать теорему косинусов в задаче с двумя данными сторонами и углом, не лежащим между ними. В этом случае а) придется решать квадратное уравнение и отбирать среди полученных корней длину реальной стороны. б) такая ситуация не характерна для задач с ЕГЭ по математике, так как не всегда однозначно задает треугольник. Если угол не лежит между сторонами, то циркулем и линейкой можно построить двух разных треугольника с такими элементами.

Теорема косинусов иногда называют расширенной теоремой Пифагора или обобщением теоремы Пифагора, ибо при угле 90 градусов из указанных выше равенств получается . Как любое обобщение она намного универсальнее и эффективнее частного случая и применяется к большему числу реальных ситуаций (в отличае от искусственных задач ГИА и ЕГЭ по математике, расчитанных на программу 8 класса).

Все известные мне доказательства связаны с векторами и координатами. В учебнике Атанасяна оно проводится через координаты точек, а в учебнике Погорелове используется понятие «скалярное произведение векторов». Проведем доказательство по Атанасяну. Оно, как мне кажется больше всего подходит репетитору по математике для работы, так как имеет меньшую зависимость от соседних тем.

Докажем равенство для стороны а и угла А . Для этого введем систему координат как показано на рисунке (ось Ох направляется вдоль стороны АС). Точка B при этом получит координаты B (cCosA;cSinA). Это единственный сложный для слабого или среднего ученика факт, который репетитор по математике , работающий по учебнику Атанасяна, должен отдельно рассмотреть. Cложным он является часто по причине того, что не подкреплен в программе достаточным количеством задач и после изучения теоремы косинусов не используется. В случае с данным расположеним точек (когда — острый) репетитору по математике достаточно обратиться к определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольных треугольниках с пунктирными сторонами.

Даленейшее доказательство строится на алгебраических и тригонометрических выкладках. К ним необходимо добавить знание формулы расстояния между двумя точками .

Применяем формулу сокращенного усножения к квадрату суммы:

Выносим за скобку: . Используем основное тригонометрическое тождество и получаем

и в итоге

Любознательному ученику репетитор по математике может показать редкое доказательство теоермы косинусов. Проведем в треугольнике ABC высоту BH и запишем АВ=АН+НВ или с=bCosA+aCosB. Если угол B — тупой, то АВ=АН-НВ и с учетом того, что косинусы смежных углов противоположны, снова получим равенство с=bCosA+aCosB. Поэтому оно не зависит от вида треугольника. запишем аналогичные формулы для а и b:
a=cCosB+bCosC и b=aCosC+cCosA. Умножая их соответственно на а и b и вычитая из их суммы равнство с=bCosA+aCosB получим равенсто

Торема косинусов позволяет объяснить весьма полезное на практике свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно записать теорему косинусов для каждой диагонали и сложить полученные равенства.

Примеры задач, в которых так или иначе можно (или нужно) использовать теорему косинусов:

1) В треугольнике со сторонами 2,3 и 4 найдите длину медианы, проведенную к большей стороне.
2) В том же треугольнике найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
3) В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3 дм, а сторона АВ равна 7дм, угол С равен . Найдите ВС.
4) Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С находится на расстоянии и от вершин А и В. Надите катеты треугольника.

Полноценная подготовка к ЕГЭ по математике невозможна без решения задач на теорему косинусов. В варианте ЕГЭ она может встретится или в номере B4 или в C4. Постепенно я буду переносить на страницу интересные задачи С4 из моей дидактической базы и с пробных экзаменов. Репетиторы, не забудьте, что в ГИА, как на ЕГЭ, теорема косинусов может проявиться и в первой и во второй части варианта.

Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве . Подготовка к ЕГЭ

Тригонометрия широко применяется не только в разделе алгебра — начала анализа, но также и в геометрии. В связи с этим, разумно предположить о существовании теорем и их доказательств, связанных с тригонометрическими функциями. Действительно, теоремы косинусов и синусов выводят очень интересные, а главное полезные соотношения между сторонами и углами треугольников.

С помощью данной формулы можно вывести любую из сторон треугольника:

Доказательство утверждения выводится на основе теоремы Пифагора: квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов.

Рассмотрим произвольный треугольник ABC. Из вершины C опустим высоту h к основанию фигуры, в данном случае абсолютно не важна ее длина. Теперь, если рассмотреть произвольный треугольник AСВ, то можно выразить координаты точки C через тригонометрические функции cos и sin.

Вспомним определение косинуса и распишем соотношение сторон треугольника ACD: cos α = AD/AC | умножим обе стороны равенства на AC; AD = AC * cos α.

Длину AC примем за b и получим выражение для первой координаты точки С:
x = b * cos⁡α. Аналогично, находим значение ординаты С: y = b * sin α. Далее применим теорему Пифагора и выразим h поочередно для треугольника ACD и DCB:

Очевидно, что оба выражения (1) и (2) равны между собой. Приравняем правые части и приведем подобные:

На практике данная формула позволяет найти длину неизвестной стороны треугольника по заданным углам. Теорема косинусов имеет три следствия: для прямого, острого и тупого угла треугольника.

Заменим величину cos α привычной переменной x, тогда для острого угла треугольника ABC получим:

Если же угол окажется прямым, то 2bx исчезнет из выражения, так как cos 90° = 0. Графически второе следствие можно представить следующим образом:

В случае тупого угла знак «-»перед двойным аргументом в формуле сменится на «+»:

Как видно из объяснения, ничего сложного в соотношениях нет. Теорема косинусов есть не что иное, как переложение теоремы Пифагора в тригонометрических величинах.

Практическое применение теоремы

Задание 1 . Дан треугольник ABC, у которого сторона BC = a = 4 см, AC = b = 5 см, а cos α = ½. Необходимо найти длину стороны AB.

Чтобы правильно произвести расчет, нужно определить угол α. Для этого стоит обратиться к таблице значений для тригонометрических функций, согласно которой арккосинус равен 1/ 2 для угла в 60°. Исходя из этого, воспользуемся формулой первого следствия теоремы:

Задание 2 . Для треугольника ABC известны все стороны: AB =4√2,BC=5,AC=7. Требуется найти все углы фигуры.

В данном случае не обойтись без чертежа условий задачи.

Так как значения углов остаются неизвестными, для поиска решений следует использовать полную формулу для острого угла.

По аналогии нетрудно составить формулы и рассчитать значения и других углов:

В сумме три угла треугольника должны составить 180 °: 53 + 82 + 45 = 180, следовательно, решение найдено.

Теорема синусов

Теорема гласит, что все стороны произвольного треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. Записываются соотношения в виде тройного равенства:

Классическое доказательство утверждения проводят на примере фигуры вписанной в окружность.

Чтобы убедиться в правдивости высказывания на примере треугольника ABC на рисунке, необходимо подтвердить тот факт, что 2R = BC / sin A. Затем доказать, что и прочие стороны соотносятся с синусами противоположных углов, как 2R или D окружности.

Для этого проводим диаметр круга из вершины B. Из свойства углов вписанных в окружность ∠GCB – прямой, а ∠CGB либо равен ∠CAB, либо (π — ∠CAB). В случае с синусом последнее обстоятельство не значительно, так как sin (π –α) = sin α. На основании приведенных умозаключений можно утверждать, что:

sin ∠CGB = BC/ BG или sin A = BC/2R,

Если рассматривать другие углы фигуры, получим расширенную формулу теоремы синусов:

Типовые задания на отработку знания теоремы синусов сводятся к поиску неизвестной стороны или угла треугольника.

Как видно из примеров, решение подобных задач не вызывает затруднений и заключается в проведении математических расчетов.

При решении задач по геометрии из ЕГЭ и ОГЭ по математике довольно часто возникает необходимость, зная две стороны треугольника и угол между ними, найти третью сторону. Или же, зная все стороны треугольника, найти его углы. Для решение этих задач вам потребуется значение теоремы косинусов для треугольника. В данной статье репетитор по математике и физике рассказывает о том, как формулируется, доказывается и применяется на практике при решении задач данная теорема.

Формулировка теоремы косинусов для треугольника

Теорема косинусов для треугольника связывает две стороны треугольника и угол между ними со стороной, лежащей против этого угла. К примеру, обозначим буквами , и длины сторон треугольника ABC , лежащие соответственно против углов A , B и C .

Тогда имеет теорема косинусов для этого треугольника может быть записана в виде:

На рисунке для удобства дальнейших рассуждений угол С обозначен углом . Словами это можно сформулировать следующим образом: «Квадрат любой стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними.»

Понятно, что если бы вы выражали другую сторону треугольника, например, сторону , то в формуле нужно было бы брать косинус угла A , то есть лежащего против искомой стороны в треугольнике, а справа в уравнении на своих местах стояли бы стороны и . Выражение для квадрата стороны получается аналогично:

Доказательство теоремы косинусов для треугольника

Доказательство теоремы косинусов для треугольника проводят обычно следующим образом. Разбивают исходный треугольник на два прямоугольных треугольника высотой, а дальше играются со сторонами полученных треугольников и теоремой Пифагора. В результате после долгих нудных преобразований получаю нужный результат. Мне лично этот подход не по душе. И не только из-за громоздких вычислений, но ещё и потому что в этом случае приходится отдельно рассматривать случай, когда треугольник является тупоугольным. Слишком много трудностей.

Я предлагаю доказать эту теорему с помощью понятия «скалярного произведения векторов». Я сознательно иду на этот риск для себя, зная, что многие школьники предпочитают обходить эту тему стороной, считая, что она какая-то мутная и с ней лучше не иметь дела. Но нежелание возиться отдельно с тупоугольным треугольником во мне всё же пересиливает. Тем более, что доказательство в результате получается удивительно простым и запоминающимся. Сейчас вы в этом убедитесь.

Заменим стороны нашего треугольника следующими векторами:

Используем теорему косинусов для треугольника ABC . Квадрат стороны равен сумме квадратов сторон и за вычетом удвоенного произведения этих сторон на косинус угла между ними:

Поскольку , то в результат получаем:

Значит, . Понятно, что отрицательное решение мы не берём, потому что длина отрезка — это число положительное.

Искомый угол на рисунке обозначен . Вновь запишем теорему косинусов для треугольника ABC . Поскольку все обозначения у нас сохранились, то и формула, выражающая теорему косинусов для этого треугольника, останется прежней:

Подставим теперь в эту формулу все величины, которые даны. В результате получаем следующее выражение:

После всех вычислений и преобразований получаем следующее простое выражение:

Какой должна быть величина острого угла , чтобы его косинус был равен Смотрим в таблицу, которую можно найти в , и получаем ответ: .

Вот так решаются задачи по геометрии с использованием теоремы косинусов для треугольника. Если вы собираетесь сдавать ОГЭ или ЕГЭ по математике, то этот материал вам нужно освоить обязательно. Соответствующие задачи почти наверняка будут на экзамене. Потренируйтесь самостоятельно в их решении. Выполните следующие задания:

1. В треугольнике ABC сторона AB равна 4 см, сторона BC равна 6 см, угол B равен 30°. Найдите сторону AC .
2. В треугольнике ABC сторона AB равна 10, сторона BC равна 8, сторона AC равна 9. Найдите косинус угла A .

Свои ответы и варианты решения пишите в комментариях. Удачи вам!

Материал подготовил , Сергей Валерьевич

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.