Описание цилиндра. Понятие цилиндра

Цилиндр

Опр. Цилиндром называется тело, которое состоит из двух кругов, совмещаемых

параллельным переносом и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки

этих кругов.

Круги называют основаниями цилиндра, а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей этих кругов – образующими цилиндра (рис. 1)

рис. 1 рис. 2 рис. 3 рис. 4

Свойства цилиндра:

1) Основания цилиндра равны и лежат в параллельных плоскостях.

2) Образующие цилиндра равны и параллельны.

Опр. Радиусом цилиндра называется радиус его основания.

Опр. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований.

Опр. Сечение цилиндра плоскостью, проходящей через ось цилиндра, называется осевым сечением.

Осевое сечение цилиндра – прямоугольник со сторонами 2R и l (в прямом цилиндре l = Н) рис. 2

Сечение цилиндра, параллельные его оси, являются прямоугольниками (рис. 3).

Сечение цилиндра плоскостью, параллельной основаниям – круг, равный основаниям (рис. 4)

Площадь поверхности цилиндра.

Боковая поверхность цилиндра составлена из образующих.

Полная поверхность цилиндра состоит из оснований и боковой поверхности.

S полн = 2 S осн + S бок ; S осн = П ∙ R 2 ; S бок = 2 П ∙ R ∙Н S полн = 2П R ∙(R + Н)

Практическая часть:

№1. Радиус цилиндра равен 3см, а его высота- 5см. Найдите площадь осевого сечения и площадь пол-

ной поверхности цилиндра.

№2. Диагональ осевого сечения цилиндра наклонена к плоскости основания под углом
и равна 20 см. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№3. Радиус цилиндра равен 2см, а его высота- 3см. Найдите диагональ осевого сечения цилиндра.

№4. Диагональ осевого сечения цилиндра, равная
, образует с плоскостью основания угол
. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра.

№5. Площадь боковой поверхности цилиндра равна 15. Найдите площадь осевого сечения.

№6. Найдите высоту цилиндра, если площадь его основания равна 1, а S бок =
.

№7. Диагональ осевого сечения цилиндра имеет длину 8см и наклонена к плоскости основания под углом
. Найдите полную поверхность цилиндра.

Цилиндрическая дымовая труба с диаметром 65см имеет высоту 18м. Сколько жести нужно для её изготовления, если на заклепку уходит 10% материала?

Category:Cylinders на Викискладе

Цили́ндр (др.-греч. κύλινδρος - валик, каток) - геометрическое тело , ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями, пересекающими её. Цилиндрическая поверхность - поверхность, получаемая таким поступательным движением прямой (образующей) в пространстве, что выделенная точка образующей движется вдоль плоской кривой (направляющей). Часть поверхности цилиндра, ограниченная цилиндрической поверхностью называется боковой поверхностью цилиндра. Другая часть, ограниченная параллельными плоскостями, это основания цилиндра. Таким образом, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая - окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Другие виды цилиндра - (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.

Призма также является разновидностью цилиндра - с основанием в виде многоугольника.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

К вычислению площади боковой поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой и длиной , равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

В частности, для прямого кругового цилиндра:

, и

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма, к сожалению, не существует.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра:

Объём цилиндра

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

где - длина образующей, а - угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра .

Для прямого цилиндра , и , и объём равен:

Для кругового цилиндра:

где d - диаметр основания.

Примечания

Wikimedia Foundation . 2010 .

Синонимы :

Смотреть что такое "Цилиндр" в других словарях:

- (лат. cylindrus) 1) геометрическое тело, ограниченное с концов двумя кругами, с боков плоскостью, огибающею эти круги. 2) в часовом мастерстве: особого рода рычаг двойного колеса. 3) шляпа, имеющая форму цилиндра. Словарь иностранных слов,… … Словарь иностранных слов русского языка

цилиндр - а, м. cylindre m., нем. Zylinder <, лат. cylindrus <гр. 1. Геометрическое тело, образуемое вращение прямоугольника вокруг одной из его сторон. Объем цилиндра. БАС 1. Толстота цилиндра равна площади его основанья, помноженной на высоту. Даль … Исторический словарь галлицизмов русского языка

Муж., греч. прямая стопка, вал; облец, обляк; тело, ограниченное с концов двумя кругами, а с боков гнутою по кругам плоскостью. Толстота цилиндра равна площади его основанья, помноженной на высоту, геом. Паровой цилиндр, халява, труба, в которой… … Толковый словарь Даля - высокая мужская шляпа из шелкового плюша с небольшими твердыми полями … Большой Энциклопедический словарь

ЦИЛИНДР, твердое тело или поверхность, образуемые вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон в качестве оси. Объем цилиндра, если обозначить его высоту как h, а радиус основания как r, равен pr2h, а площадь изогнутой поверхности 2prh … Научно-технический энциклопедический словарь

ЦИЛИНДР, цилиндра, муж. (от греч. kylindros). 1. Геометрическое тело, образуемое вращением прямоугольника около одной из его сторон, называемой осью, и имеющее в основаниях круг (мат.). 2. Часть машин (двигателей, насосов, компрессоров и т.д.) в… … Толковый словарь Ушакова

ЦИЛИНДР, а, муж. 1. Геометрическое тело, образованное вращением прямоугольника вокруг одной из его сторон. 2. Колонновидный предмет, напр. часть поршневой машины. 3. Высокая твёрдая шляпа такой формы с небольшими полями. Чёрный ц. | прил.… … Толковый словарь Ожегова

- (Steam cylinder) одна из основных деталей поршневых машин. Выполняется в виде полого круглого Ц., в котором движется поршень. Ц. паровых машин снабжается обычно паровой рубашкой для обогревания его стенок в целях уменьшения конденсации пара.… … Морской словарь

Цилиндром (точнее круговым цилиндром) называется тело, которое состоит из двух кругов, лежащих в параллельных плоскостях и совмещаемых параллельным переносом, и всех отрезков, соединяющих соответствующие точки этих кругов. Круги называются основаниями цилиндра , а отрезки, соединяющие соответствующие точки окружностей, – образующими .

Цилиндр обладает следующими свойствами, следующими из того факта, что основания цилиндра совмещаются параллельным переносом:

1. Основания цилиндра равны.

2. Образующие цилиндра параллельны и равны.

Цилиндр называется прямым если его образующие перпендикулярны плоскостям оснований. В дальнейшем будем рассматривать в основном прямые цилиндры, поэтому, если не оговорено обратное, под цилиндром будем понимать прямой цилиндр.

Радиусом цилиндра называется радиус его основания. Высотой цилиндра называется расстояние между плоскостями его оснований. Для прямого цилиндра высота равна образующим. Осью цилиндра назевается прямая, проходящая через центры оснований.

Цилиндр является телом вращения, так как может быть получен вращением прямоугольника вокруг своей оси.

Задачи

18.1Высота цилиндра 6, радиус основания 5. Концы отрезка , равного 10, лежат на окружностях обоих оснований. Найти кратчайшее расстояние от этого отрезка до оси цилиндра.

18.2В равностороннем цилиндре (диаметр равен высоте цилиндра) точка окружности верхнего основания соединена с точкой окружности нижнего основания. Угол между радиусами, проведенным в эти точки, равен 60 о. Найти угол между проведенным отрезком и осью цилиндра.

Конус

Определение конуса

Конусом (точнее круговым конусом) называется тело, которое состоит из круга – основания конуса , точки, не лежащей в плоскости основания, – вершины конуса и всех отрезков, соединяющих вершину конуса с точками основания. Отрезки, соединяющие вершины конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса .

Выстой конуса называется перпендикуляр, опущенный из вершины конуса на плоскость основания. Если основание высоты совпадает с центром окружности основания, конус называется прямым . Далее под конусом будем обычно понимать прямой конус.

Осью прямого кругового конуса называется прямая, содержащая его высоту. Такой конус может быть получен вращением прямоугольного треугольника вокруг одного из катетов.

Усеченный конус

Плоскость, параллельная основанию конуса, отсекает от него подобный конус. Оставшаяся часть называется усеченным конусом .

Задачи

19.1Две образующие конуса, опирающиеся на концы диаметра основания, составляют между собой угол 60 о. Радиус конуса равняется 3. Найти образующую конуса и его высоту.

19.2Через середину высоты конуса проведена прямая, параллельная образующей . Найти длину отрезка прямой, заключенной внутри конуса.

19.3Образующая конуса равна 13, высота 12. Конус пересечен прямой, параллельной основанию; расстояние от нее до основания равно 6, а до высоты – 2. Найти отрезок прямой, заключенный внутри конуса.

19.4Радиусы оснований усеченного конуса равны 3 и 6, высота – 4. Найти образующую.

Определение шара

Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не больше данного от некоторой точки, называемой центром шара . Данное расстояние называется радиусом шара .

Граница шара называется шаровой поверхностью или сферой . Таким образом, точками сферы являются все точки шара, удаленные от центра шара на расстояние, равное радиусу.

Отрезок, соединяющий две точки шаровой поверхности и проходящий через центр шара, называется диаметром шара.

Шар, так же как цилиндр и конус, является телом вращения. Он получается при вращении полуокружности вокруг ее диаметра.

Задачи

20.1На поверхности шара даны три точки. Прямолинейные расстояния между ними 6, 8 и 10. Радиус шара 13. Найти расстояние от центра шара до плоскости, проходящей через эти три точки.

20.2 Диаметр шара 25. На его поверхности даны точка и окружность, все точки которой удалены (по прямой) от на 15. Найти радиус этой окружности.

20.3Радиус шара равен 7. На его поверхности даны две окружности, имеющие общую хорду длиной 2. Найти радиусы окружностей, зная, что их плоскости перпендикулярны.

kýlindros , валик, каток) - геометрическое тело, ограниченное цилиндрической поверхностью (называемой боковой поверхностью цилиндра) и не более чем двумя поверхностями (основаниями цилиндра); причём если оснований два, то одно получено из другого параллельным переносом вдоль образующей боковой поверхности цилиндра; и основание пересекает каждую образующую боковой поверхности ровно один раз.

Бесконечное тело, ограниченное замкнутой бесконечной цилиндрической поверхностью, называется бесконечным цилиндром , ограниченное замкнутым цилиндрическим лучом и его основанием, называется открытым цилиндром . Основание и образующие цилиндрического луча называют соответственно основанием и образующими открытого цилиндра.

Конечное тело, ограниченное замкнутой конечной цилиндрической поверхностью и двумя выделившими её сечениями, называется конечным цилиндром , или собственно цилиндром . Сечения называются основаниями цилиндра. По определению конечной цилиндрической поверхности, основания цилиндра равны.

Очевидно, образующие боковой поверхности цилиндра - равные по длине (называемой высотой цилиндра) отрезки, лежащие на параллельных прямых, а концами лежащие на основаниях цилиндра. К математическим курьёзам относят определение любой конечной трёхмерной поверхности без самопересечений как цилиндра нулевой высоты (данную поверхность считают одновременно обоими основаниями конечного цилиндра). Основания цилиндра качественно влияют на цилиндр.

Если основания цилиндра плоские (и, следовательно, содержащие их плоскости параллельны), то цилиндр называют стоящим на плоскости . Если основания стоящего на плоскости цилиндра перпендикулярны образующей, то цилиндр называется прямым.

В частности, если основание стоящего на плоскости цилиндра - круг, то говорят о круговом (круглом) цилиндре; если эллипс - то эллиптическом.

Объём конечного цилиндра равен интегралу площади основания по образующей. В частности, объём прямого кругового цилиндра равен

,

(где - радиус основания, - высота).

Площадь боковой поверхности цилиндра считается по следующей формуле:

.

Площадь полной поверхности цилиндра складывается из площади боковой поверхности и площади оснований. Для прямого кругового цилиндра:

.

Wikimedia Foundation . 2010 .

Смотреть что такое "Цилиндр (геометрия)" в других словарях:

Раздел математики, занимающийся изучением свойств различных фигур (точек, линий, углов, двумерных и трехмерных объектов), их размеров и взаимного расположения. Для удобства преподавания геометрию подразделяют на планиметрию и стереометрию. В… … Энциклопедия Кольера

- (γήμετρώ земля, μετρώ мерю). Понятия о пространстве, положении и форме принадлежат к числу первоначальных, с которыми человек был знаком уже в глубокой древности. Первые шаги в Г. были сделаны египтянами и халдеями. В Греции Г. была введена… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

ГЕОМЕТРИЯ СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТИ - форма свободной поверхности, образующаяся под действием силы тяжести и центробежной силы при вращении жидкого металла вокруг оси вращения. При горизонтальной оси вращения свободная поверхность представляет собой круговой цилиндр, при вертикальной … Металлургический словарь

Раздел геометрии, в котором геометрические образы изучаются методами математического анализа. Главными объектами Д. г. являются произвольные достаточно гладкие кривые (линии) и поверхности евклидова пространства, а также семейства линий и …

У этого термина существуют и другие значения, см. Пирамидацу (значения). Достоверность этого раздела статьи поставлена под сомнение. Необходимо проверить точность фактов, изложенных в этом разделе. На странице обcуждения могут быть пояснения … Википедия

Теория, изучающая внешнюю геометрию и связь между внешней и внутренней. геометрией подмногообразий евклидова или риманова пространства. П. м. г. является обобщением классич. дифференциальной геометрии поверхностей в евклидовом пространстве.… … Математическая энциклопедия

Декартова система координат Аналитическая геометрия раздел геометрии, в котором … Википедия

Раздел геометрии, в к ром изучаются геометрич. образы, в первую очередь кривые и поверхности, методами математич. анализа. Обычно в Д. г. изучаются свойства кривых и поверхностей в малом, т. е. свойства сколь угодно малых их кусков. Кроме того, в … Математическая энциклопедия

У этого термина существуют и другие значения, см. Объём (значения). Объём это аддитивная функция от множества (мера), характеризующая вместимость области пространства, которую оно занимает. Изначально возникло и применялось без строгого… … Википедия

Часть геометрии, входящая в элементарную математику (См. Элементарная математика). Границы Э. г., как и вообще элементарной математики, не являются строго очерченными. Говорят, что Э. г. есть та часть геометрии, которая изучается в… … Большая советская энциклопедия

Книги

• Геометрия. 10-11 классы. Технологические карты уроков (CD). ФГОС , Гилярова Марина Геннадьевна. Интерактивная доска на уроках в старших классах - электронный современный инструмент, значительно ускоряющий доступ к необходимой информации, облегчающий ее восприятие и способствующий…

Ограниченное цилиндрической поверхностью и двумя параллельными плоскостями , пересекающими её.

Связанные определения

Цилиндрическая поверхность - поверхность, получаемая при движении прямой (образующей), параллельной какой-либо заданной, пересекающей кривую линию (направляющую), лежащую в не параллельной заданной прямой плоскости. Плоские фигуры, образованные пересечением цилиндрической поверхности с двумя параллельными плоскостями называются основаниями цилиндра . Цилиндрическая поверхность между плоскостями оснований называется боковой поверхностью цилиндра. В случае параллельности плоскости основания и плоскости направляющей, граница основания будет по форме совпадать с направляющей.

Типы

В большинстве случаев под цилиндром подразумевается прямой круговой цилиндр, у которого направляющая - окружность и основания перпендикулярны образующей. У такого цилиндра имеется ось симметрии.

Другие виды цилиндра - (по наклону образующей) косой или наклонный (если образующая касается основания не под прямым углом); (по форме основания) эллиптический, гиперболический, параболический.

Призма также является разновидностью цилиндра - с основанием в виде многоугольника.

Площадь поверхности цилиндра

Площадь боковой поверхности

Площадь боковой поверхности цилиндра равна длине образующей, умноженной на периметр сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей.

Площадь боковой поверхности прямого цилиндра вычисляется по его развёртке. Развёртка цилиндра представляет собой прямоугольник с высотой $h$ и длиной $P$, равной периметру основания. Следовательно, площадь боковой поверхности цилиндра равна площади его развёртки и вычисляется по формуле:

$S\_b\; =\; P\; h$

В частности, для прямого кругового цилиндра:

$P\; =\; 2\; \backslash pi\; R$, и $S\_b\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h$

Для наклонного цилиндра площадь боковой поверхности равна длине образующей, умноженной на периметр сечения, перпендикулярного образующей:

$S\_b\; =\; P\_\{\backslash perp\}\; h$

Простой формулы, выражающей площадь боковой поверхности косого цилиндра через параметры основания и высоту, в отличие от объёма не существует. Для наклонного кругового цилиндра можно воспользоваться приближёнными формулами для периметра эллипса , а затем умножить полученное значение на длину образующей.

Площадь полной поверхности

Площадь полной поверхности цилиндра равна сумме площадей его боковой поверхности и его оснований.

Для прямого кругового цилиндра: $S\_\{p\}\; =\; 2\; \backslash pi\; R\; h\; +2\; \backslash pi\; R^2\; =\; 2\backslash pi\; R\; (h+R)$

Объём цилиндра

Для наклонного цилиндра существуют две формулы:

• Объём равен длине образующей, умноженной на площадь сечения цилиндра плоскостью, перпендикулярной образующей. $V=S\_\{\backslash perp\}l$,
• Объём равен площади основания, умноженной на высоту (расстояние между плоскостями, в которых лежат основания): $V=Sh=Sl\backslash sin\{\backslash varphi\}$,

где $l$ - длина образующей, а $\backslash varphi$ - угол между образующей и плоскостью основания. Для прямого цилиндра $h=l$.

Для прямого цилиндра $\backslash sin\{\backslash varphi\}=1$, $l=h$ и $S\_\{\backslash perp\}=S$, и объём равен:

• $V=Sl=Sh$

Для кругового цилиндра:

$V=\backslash pi\; R^\{2\}h=\backslash pi\; \backslash frac\{d^\{2\}\}\{4\}h$

где d - диаметр основания.

Напишите отзыв о статье "Цилиндр"

Примечания

Отрывок, характеризующий Цилиндр

– Paris la capitale du monde… [Париж – столица мира…] – сказал Пьер, доканчивая его речь.
Капитан посмотрел на Пьера. Он имел привычку в середине разговора остановиться и поглядеть пристально смеющимися, ласковыми глазами.
– Eh bien, si vous ne m"aviez pas dit que vous etes Russe, j"aurai parie que vous etes Parisien. Vous avez ce je ne sais, quoi, ce… [Ну, если б вы мне не сказали, что вы русский, я бы побился об заклад, что вы парижанин. В вас что то есть, эта…] – и, сказав этот комплимент, он опять молча посмотрел.
– J"ai ete a Paris, j"y ai passe des annees, [Я был в Париже, я провел там целые годы,] – сказал Пьер.
– Oh ca se voit bien. Paris!.. Un homme qui ne connait pas Paris, est un sauvage. Un Parisien, ca se sent a deux lieux. Paris, s"est Talma, la Duschenois, Potier, la Sorbonne, les boulevards, – и заметив, что заключение слабее предыдущего, он поспешно прибавил: – Il n"y a qu"un Paris au monde. Vous avez ete a Paris et vous etes reste Busse. Eh bien, je ne vous en estime pas moins. [О, это видно. Париж!.. Человек, который не знает Парижа, – дикарь. Парижанина узнаешь за две мили. Париж – это Тальма, Дюшенуа, Потье, Сорбонна, бульвары… Во всем мире один Париж. Вы были в Париже и остались русским. Ну что же, я вас за то не менее уважаю.]
Под влиянием выпитого вина и после дней, проведенных в уединении с своими мрачными мыслями, Пьер испытывал невольное удовольствие в разговоре с этим веселым и добродушным человеком.
– Pour en revenir a vos dames, on les dit bien belles. Quelle fichue idee d"aller s"enterrer dans les steppes, quand l"armee francaise est a Moscou. Quelle chance elles ont manque celles la. Vos moujiks c"est autre chose, mais voua autres gens civilises vous devriez nous connaitre mieux que ca. Nous avons pris Vienne, Berlin, Madrid, Naples, Rome, Varsovie, toutes les capitales du monde… On nous craint, mais on nous aime. Nous sommes bons a connaitre. Et puis l"Empereur! [Но воротимся к вашим дамам: говорят, что они очень красивы. Что за дурацкая мысль поехать зарыться в степи, когда французская армия в Москве! Они пропустили чудесный случай. Ваши мужики, я понимаю, но вы – люди образованные – должны бы были знать нас лучше этого. Мы брали Вену, Берлин, Мадрид, Неаполь, Рим, Варшаву, все столицы мира. Нас боятся, но нас любят. Не вредно знать нас поближе. И потом император…] – начал он, но Пьер перебил его.
– L"Empereur, – повторил Пьер, и лицо его вдруг привяло грустное и сконфуженное выражение. – Est ce que l"Empereur?.. [Император… Что император?..]
– L"Empereur? C"est la generosite, la clemence, la justice, l"ordre, le genie, voila l"Empereur! C"est moi, Ram ball, qui vous le dit. Tel que vous me voyez, j"etais son ennemi il y a encore huit ans. Mon pere a ete comte emigre… Mais il m"a vaincu, cet homme. Il m"a empoigne. Je n"ai pas pu resister au spectacle de grandeur et de gloire dont il couvrait la France. Quand j"ai compris ce qu"il voulait, quand j"ai vu qu"il nous faisait une litiere de lauriers, voyez vous, je me suis dit: voila un souverain, et je me suis donne a lui. Eh voila! Oh, oui, mon cher, c"est le plus grand homme des siecles passes et a venir. [Император? Это великодушие, милосердие, справедливость, порядок, гений – вот что такое император! Это я, Рамбаль, говорю вам. Таким, каким вы меня видите, я был его врагом тому назад восемь лет. Мой отец был граф и эмигрант. Но он победил меня, этот человек. Он завладел мною. Я не мог устоять перед зрелищем величия и славы, которым он покрывал Францию. Когда я понял, чего он хотел, когда я увидал, что он готовит для нас ложе лавров, я сказал себе: вот государь, и я отдался ему. И вот! О да, мой милый, это самый великий человек прошедших и будущих веков.]