bleat.ru → Рвота

Лекция по математике на тему "предмет стереометрии". Примеры решения задач по стереометрии

Введение

§1. Роль и место геометрических построений в школьном курсе

§2. Методика решения задач по стереометрии

§3. Основы теории геометрических построений

3.1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

3.2 Задача на построение

§4. Методика решения задач на построение в стереометрии

4.1 Анализ

4.2 Построение

4.3 Доказательство

4.4 Исследование

Заключение

Литература

Введение

Вся история геометрии и некоторых других разделов математики тесно связана с развитием теории геометрических построений. Важнейшие аксиомы геометрии, сформулированные основоположником научной геометрической системы Евклидом около 300 г. до н.э., ясно показывают какую роль сыграли геометрические построения в формировании геометрии. «От всякой точки до всякой точки можно провести прямую линию», «Ограниченную прямую можно непрерывно продолжать», «Из всякого центра и всяким раствором может быть описан круг» - эти постулаты Евклида явно указывают на основное положение конструктивных методов в геометрии древних.

Древнегреческие математики считали «истинно геометрическими» лишь построения, производимые лишь циркулем и линейкой, не признавая «законным» использование других средств для решения конструктивных задач. При этом, в соответствии с постулатами Евклида, они рассматривали линейку как неограниченную и одностороннюю, а циркулю приписывалось свойство чертить окружности любых размеров. Задачи на построение циркулем и линейкой и сегодня считаются весьма интересными, и вот уже более ста лет это традиционный материал школьного курса геометрии.

Одной из самых ценных сторон таких задач является то, что они развивают поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также более тщательной обработке умений и навыков. А это в свою очередь усиливает прикладную и политехническую направленность обучения геометрии. Задачи на построение не допускают формального к ним подхода, являются качественно новой ситуацией применения изученных теорем и, таким образом, дают возможность осуществлять проблемное повторение. Такие задачи успешно могут быть связаны с новыми идеями школьного курса геометрии (преобразованиями, векторами).

Геометрические построения могут сыграть серьезную роль в математической подготовке школьника. Ни один вид задач не дает столько материала для развития математической инициативы и логических навыков учащегося, как геометрические задачи на построение. Эти задачи обычно не допускают стандартного подхода к ним и формального восприятия их учащимися. Задачи на построение удобны для закрепления теоретических знаний учащихся по любому разделу школьного курса геометрии. Решая геометрические задачи на построение, учащийся приобретает много полезных чертежных навыков.

В этой курсовой работе будет рассмотрена методика решения задач на построения в стереометрии, а так же роль и место геометрических построений в школьном курсе.

§1. Роль и место геометрических построений в школьном курсе

Задачи на построение - это задачи, в которых требуется построить некоторую геометрическую фигуру по заранее заданным данным с помощью ограниченного набора чертежных инструментов (чаще всего - линейки и циркуля).

Роль задач на построение в школьном курсе:

Она способствует развитию воображения школьников, так как еще до решения данной задачи приходится отчетливо представить искомый образ.
Развивает конструктивные способности учащихся и закрепляют соответствующие чертежные навыки.
Анализ и исследование полученного решения, рассмотрение взаимосвязей между данными и искомыми элементами содействует развитию логического мышления школьников, в частности - мыслительных операций: анализа, синтеза, абстрагирования; пробуждают их инициативу.
Способствует прочному закреплению теоретического материала курса.

Тематическое планирование материала, связанного с геометрическими построениями, предполагает следующее его распределение по этапам:

Ознакомительный этап (1-4 кл.). Здесь школьники впервые знакомятся с чертежными инструментами - линейкой, циркулем, треугольником и решают простейшие задачи на построение прямой, отрезка, окружности, угла.
Пропедевтический этап (5-6 кл.). более значительное внимание к геометрическим построениям подготавливает учащихся к решению более сложных задач систематического курса. Используются линейка, циркуль, транспортир, треугольник. Рассматривается построение параллельных и перпендикулярных прямых с помощью угольника и линейки; треугольника с помощью линейки, циркуля и транспортира; окружности, квадрата, прямоугольника.
Систематический курс геометрии (7-11 кл.).

7 класс. Здесь впервые учащиеся встречаются с основным требованием, предъявляемым к геометрическим чертежам - все построения должны выполняться только при помощи циркуля и линейки. Это требование вытекает из двух постулатов Евклида в «Началах»: а) от всякой точки до всякой точки можно провести прямую; б) из всякого центра любым раствором циркуля можно описать круг. При этом возникает необходимость доказательства того, что построенная фигура удовлетворяет требованиям задачи. В 7 классе учащиеся знакомятся с элементарными задачами на построение, построение окружности, вписанной и описанной около треугольника; кроме того, учащиеся усваивают первый общий метод решения задач на построение - метод геометрических мест (метод пересечений).

класс. В теме «Четырехугольники» решаются соответствующие задачи на построение методом геометрических мест; в теме «Движения» - используются все виды движения для решения задач на построение; в теме «Декартовы координаты на плоскости» рассматриваются построения на координатной плоскости (построение прямой, окружности, точек пересечения).

класс. В теме «Подобные фигуры» - задачи на построение с использованием гомотетии и преобразования подобия; в теме «Правильные многоугольники» - задачи на построение вписанных и описанных правильных многоугольников.

(10-11 классы). В стереометрии рассматриваются два вида геометрических построений: а) воображаемые построения, основывающиеся только на аксиомах стереометрии (часто используются при решении конструктивных задач типа «Докажите, что через точку вне плоскости можно провести…»; б) построения на проекционном чертеже, когда указываются кроме точек фигуры их проекции на проекционной плоскости.

Процесс решения задач состоит из четырех этапов, с которыми учащиеся знакомятся еще в 7 классе:

1)анализ;

2)построение (синтез);

3) доказательство;

)исследование.

Не все указанные этапы с самого начала обязательно должны явно присутствовать при решении задач на построение. В простейших конструктивных задачах, где алгоритм построения очевиден, допустимо не проводить анализ задачи в явном виде; если же доказательство непосредственно следует из построения, его можно также опустить (например, при построении в 7-8 классах обычно либо отсутствует, либо ограничивается проверкой выполнимости каждой операции и проведением исследования на нахождение количества решений (если возможно)).

§2. Методика решения задач по стереометрии

I. Можно выделить следующие основные задачи, решаемые при изучении стереометрии:

1)развитие и закрепление содержательных линий, начатых в неполной средней школе; обобщение основных математических методов на случай пространства;

2)изучение основных свойств пространственных фигур;

3)овладение навыками изображения пространственных фигур на плоскости на основе свойств параллельного проектирования;

4)развитие логического мышления, пространственных представлений учащихся при решении задач и доказательстве теорем курса стереометрии.

В изучении стереометрии в школе можно выделить два основных этапа:

) Формирование первоначальных представлений о пространственных фигурах (1-9 классы);

) Систематический курс стереометрии (10-11 классы).

Систематический курс стереометрии, на изучение которого отводится приблизительно по 70 часов в десятом и одиннадцатом классах, предусматривает рассмотрение следующих тем:

1.Аксиомы стереометрии и их простейшие следствия.

2.Параллельность прямых и плоскостей в пространстве.

.Перпендикулярность прямых и плоскостей в пространстве.

.Координаты, векторы, геометрические преобразования в пространстве.

.Многогранники.

.Тема вращения.

.Площадь поверхностей и объем геометрических тел.

.Изображение пространственных фигур на плоскости.

В действующих учебниках ставятся разные содержательные акценты при изучении стереометрии.

Учебник Атанасяна: материал различных по содержанию вопросов часто включается в одну главу (фузионизм). При этом наблюдается частая повторяемость материала, обращение к уже знакомым вопросам. Большое внимание, чем у Погорелова, уделяется векторам, движению к координатам.

Учебник Погорелова: отличается четкой логической структурой, меньше внимания векторам и геометрическим преобразованиям. Это подспудно несет в себе опасность затушевывания естественных связей между темами.

Выделим некоторые методические особенности изучения стереометрии.

1.Курс стереометрии полностью опирается на курс планиметрии.

большинство задач курса сводятся к решению планиметрических задач, соответственно все недочеты, имевшие место при изучении планиметрии, ощущаются и при изучении стереометрии.

Следовательно, для успешного изучения стереометрии учитель должен постоянно возвращаться к планиметрическому материалу; перед изучением той или иной теоремы необходимо повторять нужные планиметрические сведения.

2. В стереометрии принципиально другой подход к геометрическим построениям.

Если при изучении планиметрии учащиеся пользуются чертежами, которые дают явные представления об изучаемом объекте, то в стереометрии нет чертежных инструментов, которые позволяют изобразить пространственные фигуры. Здесь мы имеем дело не с самим объектом, а лишь с его изображением.

Каждая стереометрическая задача является одновременно задачей на построение изображения фигуры с помощью свойств параллельной проекции. Это требует от учащихся значительно больших усилий, чем их требуется при решении планиметрических задач.

3. В курсе стереометрии уделяется большое внимание логической стороне проводимых умозаключений; приходится обосновывать каждый свой вывод, четко устанавливая предпосылки.

Программа по стереометрии предполагает более быстрый темп прохождения материала, чем в планиметрии. При этом времени на решение задач требуется гораздо больше, соответственно более значительное место занимает самостоятельная работа школьников. Необходим тщательный подбор заданий на уроке - включать только самое необходимое.

5. Курс стереометрии строится аксиоматически. При изучении аксиоматики стереометрии необходимо решить две основные методические задачи:

) переформулируются аксиомы планиметрии для пространства (некоторые должны быть с уточнениями).

Здесь фактически под видом договоренности между учителем и учащимся вводится, как бы новая аксиома:

В любой плоскости пространства выполняются все аксиомы планиметрии.

) добавляются новые специфические аксиомы пространства, которые на первых этапах изучения иллюстрируются с помощью моделей, стереометрического ящика, рисунка, геометрии классной комнаты.

II. Формирование пространственных представлений идет в несколько этапов и включает в себя:

умение представить по чертежу целостный образ геометрической фигуры, взаимное расположение ее элементов;

умение мысленно изменить положение фигуры - посмотреть с другой стороны;

умение мысленно расчленить фигуру, составить из нее новый объект;

умение изобразить фигуру на чертеже, адекватно отразив имеющиеся отношения;

умение представить фигуру на основе ее словесного описания и т.д.

На I этапе на наглядной основе формируются предпосылки для создания целостного образа фигуры с выделением ее существенных признаков. На данном этапе учитель должен широко использовать модели, реальные объекты окружающего мира. После этого строится чертеж, который закрепляет рассмотрение соответствующей геометрической конфигурации.

В конце I этапа и на II у школьников формируются образы фигур и их комбинаций, которые они могут представить себе в почти неизмененных условиях.

Схема формирования пространственных представлений на I и II этапе следующая:

Модель чертеж представление

На II этапе роль моделей несколько уменьшается, т. к. в противном случае у школьников будет тормозиться развитие способностей мысленно представлять себе особенности расположения фигуры и ее элементов.

При построении чертежа на данных этапах учителю не следует сразу демонстрировать готовый чертеж, а стараться его выполнять постепенно вместе с учащимися с целью поэтапного восприятия или пространственных образов.

III этап: - овладение умением оперировать образами в измененных условиях. Школьники сначала работают с основным чертежом, который однако часто не дает возможность увидеть особенности расположения фигуры с разных позиций. Поэтому чертеж, как правило, должен подкрепляться рассмотрением соответствующей модели. Демонстрация сопровождается специально подобранными вопросами.

Например: Какие фигуры могут получиться при пересечении тетраэдра плоскости? Покажите на модели и чертеже различные случаи. Ответ обоснуйте.

Схема формирования пространственных представлений на III этапе:

чертеж модель представление.

IV этап: Учащиеся должны конструировать стереометрические объекты самостоятельно на базе сформулированных ранее представлений. При этом не используется ни чертеж, ни заранее подготовленная модель, а можно лишь учителю задавать вопросы для уточнения расположения фигуры.

Схема на IV этапе: представление чертеж.

Воображаемые построения (В.п.) - формально-логический метод построения в пространстве с отказом от реальных построений с помощью чертежных инструментов, осуществляются как бы мысленно; рисунок, их сопровождающий, носит чисто иллюстративный характер.

С математической точки зрения В.п. рассматриваются как задачи на доказательство существования фигур, определенных некоторым известными условиями. Само доказательство заключается в сведении процесса построения фигур (или их комбинаций) к конечному числу основных построений, которые определяются аксиоматически. При этом решение (доказательство) может сопровождаться, а может не сопровождаться рисунком.

Учитель обращает внимание учащихся на ряд сложностей, возникающих при осуществлении построений в пространстве (нельзя построить плоскость, многогранник и т.д.). Поэтому необходимо точно условиться: что значит выполнить то или иное построение.

Исходя из аксиом стереометрии, можно предположить возможность следующих основных построений в пространстве:

) Плоскость может быть построена, если заданы следующие элементы, определяющие ее положение в пространстве:

а) прямая и не лежащая на ней точка,

б) две пересекающиеся прямые,

в) две параллельные прямые,

г) три точки, не лежащие на одной прямой.

) Прямая в пространстве может быть построена как линия пересечения двух плоскостей.

) Все планиметрические построения выполнимы в пространстве только на некоторой заданной плоскости.

) Сфера может быть построена, если задано положение ее центра и радиуса R.

Выполнение всех остальных построений сводится к конечному числу основных.

На проекционном чертеже точки и прямые задаются вместе со своими проекциями на некоторую плоскость, которую называют основной.

Проекционные чертежи позволяют конструктивным средствами строить точки и линии пересечения изображаемых на нем фигур. Они имеют очень важное значение для развития пространственного воображения школьников.

С проекционными чертежами рекомендуется ознакомить школьников в 10 классе при изучении параллельной проекции ее свойств. Здесь учитель подводит школьников к выводу о том, что фигуры на чертеже могут задаваться ее проекцией на проекционной плоскости.

При чем, если точка или фигура совпадает со своей проекцией, то данная точка или фигура лежит на проекционной плоскости.

Проекционный чертеж может быть иллюстрирован моделью параллелепипеда, где проекционная плоскость - это плоскость нижнего основания, направление проектирования определяется боковыми ребрами, а проекция верхнего основания - нижнее основание.

Основным видом стереометрических задач на построение на проекционном чертеже являются задачи на построение сечений многогранников. В школе рассматриваются два метода построения сечений:

1)метод следов; 2) метод внутреннего проектирования

(Иногда используют их комбинацию).

В соответствии с методом следов вначале строится след секущей плоскости на проекционной, а затем последовательно находятся линии пересечения секущей плоскости с гранями многогранника.

Основным минусом этого метода является то, что след секущей плоскости может оказаться удаленным от основной части чертежа, следовательно, приходится уменьшать чертеж, что нежелательно.

Метод внутреннего проектирования основывается на соответствии между точками сечения и точками основания многогранника. Все построения - внутри него, но сложнее объяснить логику построения, да и чертеж загроможден.

§3. Основы теории геометрических построений

1 Общие аксиомы конструктивной геометрии

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку).

Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Ограничимся рассмотрением только таких фигур, которые принадлежат этой плоскости.

Одна фигура называется частью другой фигуры, если каждая точка первой фигуры принадлежит второй фигуре. Так, например, частями прямой будут: всякий, лежащий на ней отрезок, лежащий на этой прямой луч, точка на этой прямой, сама прямая.

Соединением двух или нескольких фигур называется совокупность всех точек, принадлежащих хотя бы одной из этих фигур.

Пересечением или общей частью двух или нескольких фигур, называется совокупность всех точек, которые являются общими для этих фигур.

Разностью двух фигур Ф и Ф называется совокупность всех таких точек фигуры Ф, которые не принадлежат фигуре Ф.

Может оказаться, что пересечение (или разность) двух фигур не содержит ни одной точки. В этом случае говорят, что пересечение (или соответственно разность) данных фигур есть пустое множество точек.

Раздел геометрии, в котором изучаются геометрические построения, называют конструктивной геометрией. Основным понятием конструктивной геометрии является понятие построить геометрическую фигуру.

Если о какой-либо фигуре сказано, что она дана, то при этом естественно подразумевается, что она уже изображена, начерчена, т.е. построена. Таким образом, первое основное требование конструктивной геометрии состоит в следующем:

Каждая данная фигура построена.

Заметим, что не следует смешивать понятия «данная фигура» и «фигура, заданная (или определенная) такими-то данными ее элементами».

Если построены две (или более) фигуры, то построено и соединение этих фигур.

3. Если построены две фигуры, то можно установить, является ли их разность пустым множеством или нет.

Если разность двух построенных фигур не является пустым множеством, то эта разность построена.

Если две фигуры построены, то можно установить, является ли их пересечение пустым множеством или нет.

Если пересечение двух построенных фигур не пусто, то оно построено.

В следующих трех основных требованиях говорится о возможностях построения отдельных точек.

Можно построить любое конечное число общих точек двух построенных фигур, если такие точки существуют.

Можно построить точку, заведомо принадлежащую построенной фигуре.

2 Задача на построение

Задачей на построение называется предложение, указывающее, по каким данным, какими инструментами, какую геометрическую фигуру требуется построить (начертить на плоскости) так, чтобы эта фигура удовлетворяла определённым условиям.

Решить задачу на построение с помощью циркуля и линейки - значит свести её к совокупности пяти элементарных построений, которые заранее считаются выполнимыми. Перечислим их.

Если построены две точки А и В, то построена прямая АВ, их соединяющая, а также отрезок АВ и любой из лучей АВ и ВА (аксиома линейки).

Если построена точка О и отрезок АВ, то построена окружность с центром в точке О и радиусом АВ, а также любая из дуг этой окружности.

Если построены две прямые, то построена точка их пересечения (если она существует).

Если построена прямая и окружность, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

Если построены две окружности, то построена любая из точек их пересечения (если она существует).

Решить задачу на построение - значит найти все её решения.

Последнее определение требует некоторых разъяснений.

Фигуры, удовлетворяющие условию задачи, могут различаться как формой так и размерами, так положением на плоскости. Различия в положении на плоскости принимаются или не принимаются в расчёт в зависимости от формулировки самой задачи на построение, а именно в зависимости от того, предусматривает или не предусматривает условие задачи определённое положение искомой фигуры относительно каких-либо данных фигур. Поясним это примерами.

Рассмотрим следующую простейшую задачу: построить треугольник по трём сторонам и углу между ними. Точный смысл этой задачи состоит в следующем: построить треугольник так, чтобы две стороны его были соответственно равны двум данным отрезкам, а угол между ними был равен данному углу. Здесь искомая фигура (треугольник) связана с данными фигурами (два отрезка и угол) только соотношениями равенства, расположение же искомого треугольника относительно данных фигур безразлично. В этом случае легко построить треугольник, удовлетворяющий условию задачи. Все треугольники, равные этому треугольнику, также удовлетворяют условию поставленной задачи. Однако нет никакого смысла рассматривать эти треугольники как различные решения данной задачи, ибо они отличаются один от другого только положением на плоскости, о чем в условии задачи ничего не сказано. Будем поэтому считать, что задача имеет единственное решение.

Итак, если условие задачи не предусматривает определённого расположения искомой фигуры относительно данных фигур, то условимся искать только все неравные между собой фигуры, удовлетворяющие условию задачи. Можно сказать, что задачи этого рода решаются «с точностью до равенства». Это означает, что задача считается решённой, если:

) Построено некоторое число неравных между собой фигур Ф1, Ф2, … Фn, удовлетворяющие условиям задачи

) доказано, что всякая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, равна одной из этих фигур. При этом считается, что задача имеет n различных решений.

Если условие задачи предусматривает определённое расположение искомой фигуры относительно какой-либо данной фигуры, то полное решение состоит в построении всех фигур, удовлетворяющих условию задачи (если такие фигуры существуют) в конечном числе.

§4. Методика решения задач на построение в стереометрии

Суть решения задачи на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если дана некоторая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры.

Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи.

Найти решение задачи на построение - значит свести ее к конечному числу основных построений, то есть указать конечную последовательность основных построений, после выполнения которых, искомая фигура будет уже считаться построенной в силу принятых аксиом конструктивной геометрии.

Одной из основных проблем методики обучения решению задач на построение является методика введения и изучения этапов решения конструктивных задач. Еще в IV в. до н. э. древнегреческие геометры разработали общую схему решения задач на построение, которой мы пользуемся и теперь. Процесс решения задачи разбивают на 4 этапа: анализ, построение, доказательство и исследование. Рассмотрим каждый этап более подробно на задаче.

Даны точки A (A), B (B), C (C) и D (D). Построить плоскость, проходящую через точку D (D), параллельно плоскости ABC.

4.1 Анализ

Анализ - это важный этап решения задачи, который мы понимаем как поиск способа решения задачи на построение. На этом этапе должны быть подмечены такие зависимости между данными фигурами и искомой фигурой, которые позволили бы в дальнейшем построить эту искомую фигуру (если мы знаем, как строить искомую фигуру, то никакой анализ уже не нужен).

Чтобы облегчить себе поиск связей между искомой фигурой и данными фигурами, обычно оказывается выгодным иметь перед глазами вспомогательный чертеж, чертеж-набросок, изображающий данные и искомые фигуры примерно в том расположении, которое предусмотрено условием задачи. Чертеж можно выполнить от руки, на глаз - это проект чертежа, который должен образоваться, когда задача уже решена.

На вспомогательном чертеже следует выделить данные элементы и важнейшие искомые элементы. Практически часто удобнее начинать построение вспомогательного чертежа не с данной фигуры, а с примерного изображения исходной фигуры, пристраивая к ней данные так, чтобы они находились в отношениях, указанны в условии задачи.

Если вспомогательный чертеж не подсказывает способа построения искомой фигуры, то пытаются обнаружить какую-либо часть искомой фигуры или вообще некоторую фигуру, которая может быть построена, и которой затем можно воспользоваться для построения искомой фигуры.

Учитываются следующие моменты:

) если на вспомогательном чертеже не удается непосредственно заметить необходимые для решения связи между данными и искомыми элементами, то целесообразно ввести в чертеж вспомогательные фигуры: соединить уже имеющиеся точки прямыми, отметить точки пересечения имеющихся линий, продолжить некоторые отрезки и т. д. Иногда бывает полезно проводить параллели или перпендикуляры к уже имеющимся прямым;

) если по условию задачи дана сумма или разность отрезков или углов, то эти величины следует ввести в чертеж, то есть следует изобразить их на чертеже-наброске, если их еще нет на нем;

) в процессе проведения анализа бывает полезно вспомнить теоремы и ранее решенные задачи, в которых встречаются зависимости между элементами, о которых говорится в условии рассматриваемой задачи.

В Приложении 3 приведен анализ задачи на построение: Построить треугольник, зная основание, меньший угол при основании и разность двух других сторон.

Из данного примера видно, что при отыскании решения задачи на построение, как и для арифметических задач, применяется аналитико-синтетический метод. Следуя от вопроса задачи, учитываем, какие элементы нам известны, и, наоборот, исходные данные комбинируем так, чтобы построить искомую фигуру.

Название этапа анализ не означает, что для отыскания решения применяется только аналитический метод, подобно тому, как и при доказательстве, которое иногда называют синтезом, не всегда применяется синтетический метод рассуждения. При разборе задачи, при отыскании путей ее решения анализ и синтез находятся в постоянном взаимодействии, дополняют и проверяют друг друга.

Вернемся к нашей задачи и проведем ее анализ.

1.Найдем точку S1, в которой пересекаются лежащие в проектирующей плоскости AAB прямые AB и AB, точку S2, в которой пересекаются прямые AC и AC, и точку S3, в которой пересекаются прямые AD и AD.

2.В плоскости AS1S3 построим прямую проходящую через точку D, параллельно прямой AS1 и в плоскости AS2S3 проходящую через точку D, параллельно прямой AS2.

.Через полученные прямые строим искомую плоскость.

2 Построение

Второй этап решения задач на построение состоит из двух частей:

) перечисление в определенном порядке всех элементарных построений, которые нужно выполнить, согласно анализу, для решения задачи;

) непосредственное выполнение этих построений на чертеже при помощи чертежных инструментов. Действительно, решить задачу с помощью тех или иных инструментов - значит указать конечную совокупность элементарных, допустимых для данных инструментов, построений, выполнение которых в определенной последовательности позволяет дать ответ на вопрос задачи.

Данный этап вводится при решении самой первой задачи на построение, которой обычно является задача о построении отрезка, равного данному, на данном луче с концом в начале этого луча. В беседе, сопровождающей введение этапа, необходимо отметить, в чем состоит решение любой задачи на построение и указать, что осуществление этого этапа как раз и состоит в перечислении конечного числа операций построения искомой фигуры.

Вернемся к нашей задаче и рассмотрим ее построение.

Построение:

1.AB∩AB=S1

2.AC∩AC= S2

3.AD∩AD=S3

4.DS4║AS1

5.DS5║AS2

6.DS4S5

4.3 Доказательство

После того как фигура построена, необходимо установить, удовлетворяет ли она условиям задачи, то есть показать, что фигура, полученная из данных элементов определенным построением, удовлетворяет всем условиям задачи. Значит, доказательство существенно зависит от способа построения. Одну и ту же задачу можно решать различными способами, в зависимости от намеченного при анализе плана построения, а поэтому, и доказательство в каждом случае будет свое. Доказательство представляет собой часть решения задачи, по своему логическому содержанию обратную анализу. Если в анализе устанавливается, что всякая фигура, удовлетворяющая поставленным условиям, может быть найдена таким-то и таким-то путем, то в этой, третьей части решения доказывается обратное положение. Это обратное положение в общем виде может быть сформулировано так: если некоторая фигура получена из данных элементов таким-то построением, то она действительно удовлетворяет поставленным условиям.

При решении простейших задач, когда все условия задачи находят непосредственное отражение в плане построения, нет необходимости доказывать, что фигура, полученная из данных элементов таким построением, является искомой. Например: Построить треугольник по двум сторонам и углу между ними. Здесь доказательство сводится к простой проверке, такие ли взяли стороны, как данные, и будет ли построенный угол равен данному. В подобных задачах доказательство является излишним, ибо правильность решения обеспечивается соответствием построения анализу и данным условия задачи.

Доказательство не просто зависит от анализа и построения, между ними существует взаимосвязь и взаимообусловленность. Построение проводится по плану, составленному при анализе. Таких планов можно указать несколько. Построение и доказательство являются своеобразным критерием правильности и рациональности составленного плана. Если план не осуществим имеющимися инструментами или же построение оказывается нерациональным, мы вынуждены искать новый план решения. Аналогичным образом и доказательство, и исследование влияют на анализ, предопределяя нередко выбор плана решения.

Хотя доказательство при решении задач на построение проводится аналогично доказательству теорем, с использованием аксиом, теорем и свойств геометрических фигур, между ними имеется и некоторое различие. При доказательстве теорем в большинстве случаев без труда выделяют условие и заключение. При решении задач на построение уже труднее найти данные, на основании которых можно доказать, что построенная фигура является искомой. Поэтому при решении конструктивных задач в классе целесообразно иногда специально выделять, что дано, и что требуется доказать. Например, при решении задачи: Построить ромб по двум его диагоналям предлагаем ученику записать, что дано (диагонали взаимно перпендикулярны и, пересекаясь, делятся пополам) и что требуется доказать (стороны равны). В свою очередь при решении задач дома и в контрольных работах можно не требовать оформления доказательства с выделением отдельно условия и заключения. Нет надобности требовать проведения особого доказательства в задачах, где правильность решения очевидна.

Вернемся к нашей задаче и рассмотрим ее доказательство.

Доказательство: прямые DS4 и DS5 проходят через точку D и параллельны плоскости ABC по построению.

4 Исследование

При построении обычно ограничиваются отысканием одного какого-либо решения, причем предполагается, что все шаги построения действительно выполнимы. Для полного решения задачи нужно еще выяснить следующие вопросы: 1) всегда ли (то есть при любом ли выборе данных) можно выполнить построение избранным способом; 2) можно ли и как построить искомую фигуру, если избранный способ нельзя применить; 3) сколько решений имеет задача при каждом возможном выборе данных? Рассмотрение всех этих вопросов и составляет содержание исследования.

Таким образом, исследование имеет целью установить условия разрешимости и определить число решений. Нередко школьники и даже учителя проводят исследование, произвольно выбирая те или иные случаи, причем неясно, почему рассматриваются именно такие, а не какие-либо иные случаи. Остается неясным также, все ли возможные случаи рассмотрены. Практически в большинстве случаев удается достигнуть необходимой полноты исследования, если проводить это исследование по ходу построения, что является наиболее доступным и целесообразным способом. Сущность этого приема состоит в том, чтобы перебрать последовательно все шаги, из которых слагается построение, и относительно каждого шага установить, всегда ли указанное на этом шаге построение выполнимо, а если выполнимо, то однозначно ли.

Рассмотрим исследование нашей задачи.

Исследование: данная задачи имеет решение и при том только одно, т. к. параллельно данной плоскости и не лежащую на ней прямой можно провести только одну плоскость.

Задачи

Задача №1.

Дано: SABCD-пирамида, PSB, KSC, MSA.

Построить: Сечение SABCD плоскостью МКР

Решение: Поскольку точки М, К и Р лежат на боковых ребрах пирамиды, то сразу можно построить две стороны сечения МР

Р К

М В С

О Н

А D

и РК. После этого надо найти точку Н пересечения секущей плоскости с ребром SD.

Теперь в плоскости (ВSD) мы имеем две точки секущей плоскости: О1 и Р. Значит, искомая на ребре SD точка Н будет точкой пересечения ребра SD и прямой РО1.

Точка найдена, последние две стороны сечения МН и НК легко построить. Таким образом, МКРН - искомое сечение.

Задача №2

Дано: Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 - призма, PAA1, QBB1,RCC1

Найти: сечение ABCDA1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки P, Q, R

Решение: Построим след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Рассмотрим грань АА1В1В. В этой грани лежат точки сечения P и Q. Проведем прямую PQ. Продолжим прямую PQ, которая принадлежит сечению, до пересечения с прямой АВ. Получим точку S1, принадлежащую следу. Аналогично получаем точку S2 пересечением прямых QR и BC. Прямая S1S2 - след секущей плоскости на плоскость нижнего основания призмы. Прямая S1S2 пересекает сторону AD в точке U, сторону CD в точке Т. Соединим точки P и U, так как они лежат в одной плоскости грани АА1D1D. Аналогично получаем TU и RT. PQRTU - искомое сечение.

Задача №3

Дано: Построить сечение призмы ABCDA1B1C1D1 - призма, MA1B1, NAD, PDC

Найти: Сечение ABCDA1B1C1D1 плоскостью проходящей через точки M, N, P

Решение:Точки N и P лежат в плоскости сечения и в плоскости нижнего основания параллелепипеда. Построим прямую, проодящую через эти точки. Эта прямая является следом секущей плоскости на плоскость основания параллелепипеда. Продолжим прямую, на которой лежит сторона AB параллелепипеда. Прямые AB и NP пересекутся в некоторой точке S. Эта точка принадлежит плоскости сечения. Так как точка M также принадлежит плоскости сечения и пересекает прямую АА1 в некоторой точке Х. Точки X и N лежат в одной плоскости грани АА1D1D, соединим их и получим прямую XN. Так как плоскости граней параллелепипеда параллельны, то через точку M можно провести прямую в грани A1B1C1D1, параллельную прямой NP. Эта прямая пересечет сторону В1С1 в точке Y. Аналогично проводим прямую YZ, параллельно прямой XN. Соединяем Z с P и получаем искомое сечение - MYZPNX.

Так же задачи на построение сечений можно решать в программе «Живая Геометрия».

Дано: ABCDA1B1C1D1-параллепипед, P CC1D1D, Q AA1D1D, R BB1. Построить: сечение ABCDA1B1C1D1 плоскостью PQR.

Решение:

Дано:Точки P, Q и R взяты на поверхности параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 следующим образом: точка P лежит на грани CC1D1D, точка Q - на ребре B1C1, а точка R - на ребре AA1.

Построить: сечение параллелепипеда плоскостью (PQR).

Решение:

Дано: На рёбрах A1B1 и DD1 параллелепипеда ABCDA1B1C1D1 взяты соответственно точки P и S, а в гранях DD1C1C и AA1D1D соответственно точки Q и R.

Построить: сечение параллелепипеда плоскостью, проходящей через точку S параллельно плоскости PQR.

Решение:

3.Самостоятельное решение задач

Каждый ученик получает карточку с заданием. На этом же листе выполняется построение сечения и описание этого построения. Проверку заданий можно осуществить на уроке в УМК «Математика, 5-11 классы. Практикум»

Задание1-7: построить сечение, проходящее через точки M,K,L.

Задание 8: построить сечение, проходящее через точку P и прямую KL.

Задание 9: построить сечение, проходящее через точку K и прямую PQ.

Задание 1

Задание 2

Задание 3

Задание 4 Задание 5

Задание 6

Задание 7

Задание 8 Задание 9

Решения заданий в УМК «Математика, 5-11 классы. Практикум»

Заключение

Систематическое изучение геометрических построений необходимо в школьном курсе, так как в процессе изучения задач они концентрируют в себе знания из других областей математики, развивают навыки практической графики, формируют поисковые навыки решения практических проблем, приобщают к посильным самостоятельным исследованиям, способствуют выработке конкретных геометрических представлений, а также к более тщательной обработке умений и навыков.

В этой курсовой работе были рассмотрены роль и место построений в школьном курсе, а так же была рассмотрена методика решения задач на построение в стереометрии и основные геометрические построения.

Литература

стереометрия геометрическое посторенние

1.Александров, И.И. Сборник геометрических задач на построение с решениями / И.И.Александров. - М.: Учпедгиз,1954.

2.Аргунов, Б.И. Элементарная геометрия: учеб. пособие для пед. ин-тов / Б.И. Аргунов, М.Б. Балк. - М.: Просвещение, 1966.

3.Коновалова, В.С. Решение задач на построение в курсе геометрии как средство развития логического мышления / В.С. Коновалова, З.В. Шилова // Познание процессов обучения физике: сборник статей. Вып.9. - Киров: Изд-во ВятГГУ, 2008. - С. 59-69.

4.Мисюркеев, И.В. Геометрические построения. Пособие для учителей / И.В.Мисюркеев. - М: Учпедгиз, 1950.

5.Понарин, Я.П. Элементарная геометрия: В 2 т. - Т.2: Стереометрия, преобразования пространства / Я.П.Понарин - М.: МЦНМО, 2006.

6.Прасолов, В.В. Задачи по стереометрии. Ч.1 / В.В. Прасолов. - М.: Наука, 1991.

7.Саранцев, Г.И. Обучение математическим доказательствам и опровержениям в школе / Г.И. Саранцев. - М.: ВЛАДОС, 2005.

8.Шарыгин, И.Ф. Задачи по геометрии (Стереометрии) / И.Ф. Шарыгин. - М.: Наука, 2009.

В курсе стереометрии рассматривают два вида задач на построение: воображаемые (условные) построения и построения на проекционном чертеже.

Пространственные фигуры изображаются плоским рисунком, а значит, такой рисунок во многом условен: линейные и угловые размеры на нем искажаются. Воображаемые построения проводятся мысленно. Рисунок, которым их сопровождают, носит исключительно иллюстративный характер. Отмеченные особенности стереометрических чертежей вызывают затруднения у учащихся. Школьники часто не могут их ни понять, ни начертить. А само решение стереометрических задач проходит обычно в два этапа.

1 этап – конструктивно-графический. Школьники делают чертеж по условию задачи, ищут путь решения, выполняют необходимые дополнительные построения.

2 этап – технический. В его ходе выполняется запись решения задачи.

Именно на 1 этапе реализуется процесс формирования графических умений и навыков учащихся и развитие их пространственных представлений. Однако на практике учитель больше внимания отдает 2-му этапу – оформлению решения. На уроке учитель часто заранее рисует чертеж к задаче и уже по готовому чертежу проводит ее анализ и составление плана решения. Таким образом, экономится время урока, но ученики при этом по большей части просто «срисовывают картинку» с доски, не понимая ее смысла.

Изучение изображения пространственных фигур начинается в 5-6 классах – куб и шар. В курсе стереометрии начинается с изображения тетраэдра и параллелепипеда. Вопрос об изображении геометрических фигур сводится к построению проекций этих фигур. Таким образом, в основе построения изображения геометрических фигур лежит теория проекций. Так как в школе приходится строить плоские изображения, то можно говорить о параллельной и центральной проекциях. Н.Ф.Четверухин в учебном пособии для учителей «Изображение фигур в стереометрии» сформулировал требования, которым должны удовлетворять изображения: 1. Изображение должно представлять собой одну из проекций изображаемой фигуры; 2. Изображение должно быть наглядным, т.е. вызывать пространственное представление оригинала; 3. Изображение должно быть простым для выполнения. Всем этим требованиям наиболее полно отвечает параллельная проекция. Следовательно, за изображение геометрических фигур целесообразно принимать параллельную проекцию данной фигуры или ей подобную.

Методы построения сечений, которые изучаются в школьном курсе!

Анализ учебника л.С. Атанасяна 10-11 кл. «Геометрия»

По учебнику Л.С. Атанасяна построение сечений идет в главе I «Параллельность прямых и плоскостей» в параграфе «Тетраэдр и параллелепипед» рассматриваются «Задачи на построение сечений» как 1 урок. Рассматриваются 3 задачи как примеры построения сечений в тетраэдре и параллелепипеде. В общем даны 11 задач на построение сечений из них 3 задачи на построение сечений в тетраэдре, 8 задач на построение сечений в параллелепипедах и 4 задачи не обязательные на базовом уровне.

В учебнике Л.С. Атанасяна 10-11 класс Геометрия тема «Изображение пространственных фигур» дается в приложении как один вопрос с 4 подпунктами:

параллельная проекция фигур

изображение фигуры

изображение плоских фигур

изображение пространственных фигур

В 4 подпункте рассматривается фигуры тетраэдра, параллелепипеда, пирамиды. В этом учебнике понятие изображение фигуры вводится с помощью параллельной проекции данной фигуры.

Анализ учебника И.Ф. Шарыгина.

Сечение многогранников в учебнике И.Ф. Шарыгина «Геометрия» 10-11 кл. дается как параграф «Построение на изображении» к главе II «Многогранники». В нем рассматривается вопрос «Метод следов» и вспомогательных плоскостей и рассматривается 2 примера решения задач на сечения многогранников (пирамиды). Потом идет закрепление из 11 задач, из которых 4-трудные, 1- важная задача. Также сечение рассматриваются в 4 главе «Задачи и методы стереометрии» под параграфом 1 «Вспомогательные плоскости, сечения», где рассматриваются при решении задач как вспомогательное сечение. Задачник состоит из 6 задач.

Научить применять полученные знания на практике, по образцу, алгоритму, с подсказкой.
Закрепить умения построения сечений, используя аксиомы стереометрии.
Развивать пространственное мышление учащихся.

Ход урока.

I. Организационная часть.

II. Разбор домашнего задания.

Домашнее задание было по трём уровням сложности

Задача 1 и 2 - первый уровень

Задача 3 и 4 – второй уровень

Задача 5 и 6 – третий уровень

Задача 1. АВСА 1 С 1 – треугольная призма, точка F – середина ребра АВ , точка О лежит на продолжении ребра ВС так, что С расположена между В и О . Постройте сечение призмы плоскостью В 1 FO .

Задача 2. Точка О – середина ребра DD 1 куба ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 . Постройте точки пересечения прямых A 1 O и C 1 O с плоскостью основания ABCD и вычислите расстояние между ними, если длина ребра куба 2 см.

Задача 3. Дана треугольная пирамида SABC Точки Р и R лежат на ребрах SA и ВС , точка F лежит на продолжении ребра АС так, что точка С лежит между точками А и F . Постройте сечение пирамиды плоскостью PRF

Задача 4. SABCD - четырехугольная пирамида. Точка Р лежит в грани SCD , а точка F на продолжении ребра DC так, что точка D лежит между F и С . PFB .

Задача 5. DABC - правильный тетраэдр, длина ребра которого равна 4 см. Точка О - середина ребра DB . Точка F лежит на продолжении ребра ВС так, что С - середина отрезка BF , точка Т лежит на продолжении ребра АС так, что С - середина отрезка AT . Постройте сечение тетраэдра плоскостью FTO и вычислите его периметр.

Задача 6. DABC - треугольная пирамида Точка F лежит на ребре DB , точка Т лежит на продолжении ребра АВ так, что точка А расположена между точками Т и В , а точка R лежит на продолжении ребра CD так, что точка С лежит между точками D и R . Постройте сечение пирамиды плоскостью TFR.

III. Работа по готовым чертежам.

Каждой группе предлагаются задачи в зависимости от уровня сложности. Учащиеся выполняют данные задания, а затем коллективное обсуждение хода решения.

Условие: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

На рисунках изображены правильные параллелепипеды.

Задание первого уровня:

Задание второго уровня :

Задание третьего уровня :

IV. Практическая работа.

Каждой группе даётся основное задание и дополнительное. В дополнительном задании на рисунках изображены треугольные призмы (1 и 2 уровень) и треугольная пирамида (3 уровень).

Работа оценивается учителем с последующей отметкой в журнал.

Задание первого уровня:

В треугольной пирамиде DABC точка О - точка пересечения медиан грани DBC . Точка F лежит на прямой АВ так, что В лежит между точками А и F , а точка Е лежит на прямой АС так, что точка С лежит между А и Е . Постройте сечение пирамиды плоскостью OEF .

PQR

Задание второго уровня:

АВСА 1 В 1 С 1 - треугольная призма. Точка О лежит на ребре A 1 C 1 ,. Точка F лежит на продолжении ребра АС так, что С лежит между А и F . Точка К лежит на продолжении ребра АВ так, что В расположена между А и К . Постройте сечение призмы плоскостью OKF .

Дополнительное задание: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

Задание третьего уровня:

Основание прямоугольного параллелепипеда ABCDA l B 1 C 1 D 1 - квадрат, длина стороны которого равна 2 см. Точка О - середина бокового ребра DD 1 а точки К и F лежат на продолжении ребер ВС и АВ соответственно так, что ВС = 2СК , AB = 2FA . Вычислите площадь сечения параллелепипеда плоскостью OFК , если DD 1 = 4 см.

Дополнительное задание: являются ли закрашенные фигуры сечениями изображённых многогранников плоскостью PQR ? В тех случаях, когда сечение показано неправильно, найдите правильное решение.

V. Домашнее задание.

Учащиеся выбирают соответствующий уровень сложности.

Задание для первого уровня сложности:

Задание для второго уровня сложности:

Задание для третьего уровня сложности:

Геометрия – это наука о свойствах геометрических фигур.

Стереометрия изучает фигуры в пространстве (не все точки фигуры лежат в одной плоскости).

Основными геометрическими фигурами в пространстве являются: точка , прямая и плоскость . Плоскость состоит из точек, неограниченно продолжена во все стороны, не имеет толщины, идеально ровная и гладкая. В пространстве имеется бесконечно много плоскостей, и на каждой из них выполняются свойства планиметрии. Так, например, признаки равенства и подобия треугольников, изученные в планиметрии, справедливы и для треугольников, лежащих в разных плоскостях.

Рассмотрим подробное решение нескольких стереометрических задач.

Задача 1.

Параллельные плоскости α и β пересекают стороны угла АВС в точках А 1 , С 1 , А 2 , С 2 соответственно.
Найти ВС 1 , если А 1 В: А 1 А 1 = 1: 3, ВС 2 = 12.

Решение.

Рассмотрим рис. 1.

1) Так как А 1 В: А 1 А 2 = 1: 3, то А 1 В = х, А 1 А 2 = 3х.

2) Плоскость (АВС) пересекает плоскость α по прямой А 1 С 1 , а плоскость β – по прямой А 2 С 2 . Так как плоскости α и β параллельны, то параллельны и прямые А 1 С 1 и А 2 С 2 .

3) Рассмотрим угол АВС. По теореме Фалеса выполняется:

ВА 1 /ВА 2 = ВС 1 /ВС 2 .

Кроме того, ВА 2 = ВА 1 + А 1 А 2 , а значит, учитывая пункт 1

ВА 2 = ВА 1 + А 1 А 2 = х + 3х = 4х.

Тогда х/(4х) = ВС₁/12, то есть ВС 1 = 3.

Ответ: 3.

Задача 2 .

В ромбе АВСD угол А равен 60°, сторона ромба равна 4. Прямая АЕ перпендикулярна плоскости ромба. Расстояние от точки Е до прямой DC равно 4. Найти квадрат расстояния от точки А до плоскости ЕDC.

Решение.

1) Проведем АН перпендикулярно DC (рис. 2) , тогда ЕН перпендикулярно DC по теореме о трех перпендикулярах. Значит ЕН – расстояние от точки Е до прямой DC, то есть ЕН = 4.

2) Проведем АК – высоту треугольника АЕН – и докажем, что АК – расстояние от точки А до плоскости (ЕDC):

DC перпендикулярно АН и DC перпендикулярно ЕН, значит, DC перпендикулярно плоскости (АЕН) по признаку перпендикулярности прямой и плоскости. АК содержится в плоскости (АЕН), значит АК перпендикулярно DC. Кроме того, АК перпендикулярна ЕН по построению. Так как прямая АК перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в плоскости ЕDC (ЕН и DC), то АК перпендикулярно плоскости (ЕDC), значит, АК – расстояние от точки А до плоскости (EDC).

3) Рассмотрим треугольник ADH: АD = 4, угол ADH = 60° (накрест лежащий с углом ВАD),
тогда АН = АD · sin ADH. Имеем, что АН = 4 · √3/2 = 2√3.

4) Рассмотрим треугольник ЕАН – прямоугольный (угол ЕАН = 90°). По теореме Пифагора

ЕН 2 = ЕА 2 + АН 2 ;

ЕА 2 = 16 – 12 = 4;

Для площади треугольника ЕАН можно использовать формулы

S EAH = (EA · AH)/2 или S EAH = (AК · ЕH)/2, тогда

EA · AH = AК · ЕH или АК = (EA · AH)/ЕН.

Имеем: АК = (2 · 2√3)/4 = √3, поэтому АК 2 = 3.

Ответ: 3.

Задача 3.

В треугольнике АВС угол В – прямой, ВС = 2. Проекцией этого треугольника на некоторую плоскость является треугольник ВDC, АD = √2, угол между плоскостями АВC и ВСD равен 45°. Найти угол (в градусах) между прямой АС и плоскостью (ВDC).

Решение.

1) По теореме о трех перпендикулярах ВD перпендикулярно ВС, тогда угол между плоскостями (АВС) и (ВDC) – есть угол АВD равный 45° (рис. 3) .

2) АС – наклонная, АD – перпендикуляр к плоскости (BCD), CD – проекция АС на плоскость (ВСD), значит угол АСD равен углу между прямой АС и плоскостью (ВDC), то есть угол АСD – искомый.

3) Рассмотрим треугольник АВD – прямоугольный (угол АВD = 90°):

АВ = АD/sin ABD;

AB = √2/(√2/2) = 2.

4) Рассмотрим треугольник АВС – прямоугольный (угол АВС = 90°). По теореме Пифагора

АС 2 = АВ 2 + ВС 2 ;

АС 2 = 4 + 4 = 8;

5) Рассмотрим треугольник АСD – прямоугольный (угол ADC = 90°):

так как АD = 1/2 АС, то угол АСD = 30°.

Ответ: 30°.

Задача 4.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 – куб. Найти угол (в градусах) между АВ 1 и ВD 1 .

Решение.

Рассмотрим рис. 4.

1) Прямая АВ 1 содержится в плоскости (АА 1 В 1), прямая ВD 1 пересекает плоскость (АА 1 В 1) в точке В, но В не принадлежит АВ 1 , значит прямые АВ 1 и ВD 1 скрещивающиеся (по признаку скрещивающихся прямых) (рис. 4) .

2) Введем прямоугольную систему координат с началом отсчета в точке В и единичным отрезком, равным по длине ребру куба.

3) Определим координаты точек B, D 1 , A, B 1 в заданной системе координат:

B 1 (0; 0; 1), тогда вектор BD 1 {1; 1; 1}, а вектор АВ 1 – {-1; 0; 1}.

4) Найдем скалярное произведение векторов ВD 1 и АВ 1:

ВD 1 и АВ 1 = 1 · (-1) + 1 · 0 + 1 · 1 = 0.

Так как скалярное произведение векторов равно нулю, то они взаимно перпендикулярны, значит, угол между АВ 1 и ВD 1 равен 90°.

Ответ: 90°.

Задача 5.

Длина бокового ребра правильной четырехугольной пирамиды равна 8. Боковое ребро наклонено к плоскости основания под углом 60°. Найти значение выражения √3 · V, где V – объем пирамиды.

Решение.

Так как по условию четырехугольная пирамида правильная, то в ее основании лежит квадрат ABCD (рис. 5) .

1) Высота пирамиды РО проецируется в центр основания (точку О – точку пересечения диагоналей квадрата АВСD).

2) Угол между прямой РС и плоскостью (АВС) равен плоскому углу РСО и равен 60°.

3) Рассмотрим треугольник РОС – прямоугольный (угол РОС = 90°):

РО = РС · sin PCO;

OC = PC · cos PCO;

PO = 8 · √3/2 = 4√3;

OC = 8 · 1/2 = 4.

4) Рассмотрим квадрат ABCD:

АС = 2 · ОС = 2 · 4 = 8, тогда S ABCD = d 2 /2, где d – диагональ квадрата, то есть S ABCD = 64/2 = 32.

5) V = 1/3 S осн · h;

V = 1/3 · 32 · 4√3 = 128√3/3.

6) √3 · V = √3 · 128√3/3 = 128.

Ответ: 128.

Остались вопросы? Не знаете, как решать задачи по стереометрии?
Чтобы получить помощь репетитора – .
Первый урок – бесплатно!

blog.сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.

Ðассматриваются особенности построения изображений фигур, в первую очередь плоских, задачи на построение на изображениях.

При изучении вопроса об изображении фигур в стереометрии основное внимание сосредоточим наизображении плоских фигур. И это понятно, поскольку глядя на реальный физический объект (дом, игральный кубик, книгу и др.), мы видим поверхность, во многих случаях состоящую из плоских частей (рис. 201 – 203). На рисунках и технических чертежах прежде всего пытаются изобразить поверхность объекта, а наш жизненный опыт дает возможность за деталями поверхности увидеть предмет в целом.

Поскольку основная геометрическая фигура - это треугольник, выясним, какая фигура может быть изображением треугольника. А затем мы сможем обсудить вопрос об изображении других многоугольников,известныхизпланиметрии.Крометого,речьбудетидти и об изображении простейших пространственных фигур.

За геометрическую основу изображения возьмем параллельное проектирование. Прежде всего нужно уточнить содержание понятия «изображение», ведь понимать под изображением фигуры непосредственно ее параллельную проекцию - достаточно

неудобно. Фигуру больших размеров просто невозможно спроектировать на лист бумаги - для того, чтобы изображение поместилось, параллельную проекцию фигуры нужно пропорционально уменьшить (или увеличить в других ситуациях).

Изображением пространственной фигуры называется фигура, подобная параллельной проекции данной фигуры на некоторую плоскость.

Данное определение требует дополнения. Понятно, что изображение должно содержать как можно больше информации о фигуре. Вряд ли параллельная проекция куба на рис. 204, а) достаточно полно отображает особенности этой фигуры. Поэтому

на изображении многогранников изображают их вершины и рёбра, видимые и невидимые.Какужеотмечалось,невидимыелинии изображают штриховыми линиями. Таким образом, изображение куба на рис. 204, б)

даёт более полную информацию о кубе. На изображении пространственной фи-

гуры выделяют также изображения ее важных элементов (например, диагоналей, сечений и т. п.).

Отметим, что в определении не фиксируется ни плоскость проекций, ни направление проектирования. Это и понятно, поскольку удобную для рассмотрения позицию можно выбирать произвольно.

Теперь ответим на вопрос: какая фигура может быть изображением треугольника? Случай, когда треугольниклежитвпроектирующейплоскос-

ти, не будем рассматривать. В этом случае он проектируется на отрезок (рис. 205).

Поскольку параллельной проекцией треугольника является треугольник (кроме отмеченного выше случая), то и изображением треугольника должен быть тре-

угольник. В то же время возникает вопрос: «А какой треугольник можно считать изображением данного треугольника?» Как известно, при параллельном проекти-

ровании изменяются длины отрезков, меры углов. Понятно, что параллельной проекцией равнобедренного треугольника является, вообще говоря, разносторонний треугольник, проекцией тупоугольного треугольника может быть остроугольный и т. д.

Проведение простых экспериментов с картонными моделями треугольников при получении их тени от Солнца или от удаленной лампы показывает, что форма параллельных проекций треугольника может быть различной. Более того, можно убедиться в том, что за счет соответствующего размещения модели можно получить в качестве проекции треугольник заданной формы. Таким образом, рассматривая различные тени одного треугольника, можно прийти к следующему выводу.

Изображением данного треугольника может быть произвольный треугольник.

Математическое обоснование этого факта будет сделано позже. Пользуясь им, можно сделать определенные выводы относительно изображения некоторых четы-

рехугольников. Из свойств параллельного проектиро-

вания вытекает, что изображением параллелограмма является произвольный

параллелограмм. Действительно, параллелограмм диагональю разбивается на два равных треугольника (рис. 206, а). Изоб-

ражением треугольника ABD может быть произвольный треугольникA 1 B 1 D 1 . Достро-

ив треугольник A 1 B 1 D 1 до параллелограм-

ма (рис. 206, б), который однозначно определяется этим треугольником, получим следующий вывод.

Изображениямданногопараллелограммаможетбыть произвольный параллелограмм.

Относительнотрапецийподобныйвыводобихизображенияхсделать нельзя, поскольку при параллельном проектировании должно сохраняться отношение длин параллельных оснований. Если, например, одно из оснований вдвое меньше второго, то и на изображении это соотношение должно сохраняться. Хотя, конечно, изображением трапеции должна быть трапеция (но не произвольная!).

Изображение фигур в стереометрии

Что касается изображения других многоугольников, то можно выбрать три их точки, не лежащие на одной прямой (например, три вершины). Эти точки определяют треугольник, который может изображаться произвольным треугольником. Далее, пользуясь свойствами параллельного проектирования (они являются и свойствами изображений), можно в некоторых случаях строить изображение всего многоугольника.

Научившись изображать некоторые плоские фигуры, размещенные в пространстве, можем приступить к изображению простейших пространственных фигур.

Изображения прямоугольного параллелепипеда, куба ничем не отличаются от изображений произвольного параллелепипеда, так как изображениями квадратов и прямоугольников могут быть произвольные параллелограммы. Чаще всего куб изображают так, как это сделано на рис. 207, а). На рис. 207, б)–г) также даны изображения куба. Однако, в отличие от рис. 207, а), по этим изображениям трудно составить представление о свойствах куба. На рис. 207, б), в) изображения простые и правильные, то есть выполнены по законам параллельного проектирования. Однако они не являются наглядными. Сказанное не означает, что в некоторых случаях нам не понадобится каждое из приведенных изображений.

Рассмотрим подробнее построение изображения параллелепипеда. В §7 параллелепипед рассматривался как многогранник, гранями которого служат шесть параллелограммов. В §8 рассматривался подход к построению фигур из отрезков. Воспользуемся

им. В данной плоскости α построим параллелограммАВСD и через все его вершины проведем параллельные прямые, пересекающие плоскость α (рис. 208). На этих прямых по одну сторону от плоскости α отложим отрезкиАА 1 ,ВВ 1 ,СС 1 ,DD 1 одинаковой длины. Нетрудно доказать, что точкиА 1 ,В 1 ,С 1 ,D 1 лежат в одной плоскости и являются вершинами параллелограммаА 1 B 1 C 1 D 1 . Действи-

тельно, поскольку АA 1 D 1 D ,АВСD иВB 1 C 1 C - параллелограммы, тоА 1 D 1 ||AD ,AD ||ВС, ВС ||В 1 C 1 и, согласно признаку параллельности прямых (теорема 2 §8),А 1 D 1 ||В 1 C 1 . Это, в частности, дает нам возможность утверждать, что точкиА 1 ,В 1 ,С 1 ,D 1 лежат в одной плоскости.

Аналогично имеем, что А 1 B 1 ||D 1 C 1 , то есть четырехугольникА 1 B 1 C 1 D 1 является параллелограммом.

Совокупность всех точек отрезков, соединяющих точки параллелограммов ABCD иА 1 B 1 C 1 D 1 , образуют фигуру, являющуюсяпараллелепипедом (рис. 209). Понятно, что при построении параллелепипедов можно обойтись параллельными отрезками, соединяющими соответствующие точки параллелограммов. Изображение выполнено, как и на рис. 208, только с учетом того, что параллелепипед «заполнен» точками, и некоторые линии невидимы для наблюдателя. Как и в черчении, их изображают штриховой линией. Обозначают параллелепипед по его вершинам:

ABCDА1 B 1 C 1 D 1 .

Две грани параллелепипеда, имеющие общее ребро, называются смежными, а не имеющие общего ребра, -противоположными. Две вершины, не принадлежащие к одной грани, называютсяпротивоположными. Отрезок, соединяющий противоположные вершины, называетсядиагональю параллеле-

Изображение пирамид, в частности тетраэдров, было рассмотрено в §8 в связи с их построением из отрезков.

Изображение фигур в стереометрии

! Рассмотрение изображений плоских и пространствен-

ных фигур позволяет сформулировать требования к изображениям:

1) изображение должно быть правильным, то есть удовлетворять определенным правилам;

2) изображение должно быть наглядным;

3) изображение должно быть простым для выполнения.

Правильность изображения обеспечивается соблюдением правил построения параллельных проекций. Наглядность и простота обеспечиваются выбором направления проектирования, то есть «угла зрения» на фигуру и расположением плоскости проекции. Так, изображения тетраэдра SABC на рис. 210, а), б) нельзя считать удачными. В первом случае использовано параллельное проектирование на плоскость граниАВС, а во втором - направление проектирования определяется прямойАВ. В обоих этих случаях потеряна объемность фигуры. Как правило, используют третье изображение (рис. 210, в). Оно является плоским четырехугольникомABCS, в котором проведены диагоналиАС иSB . Невидимое реброАС изображено штриховой линией.

Важным средством обеспечения наглядности изображения является изображение элементов фигуры (медиан, биссектрис, средних линий, диагоналей и т. п.), а также простейших сечений.

Построение изображений различных фигур является неотъемлемой составляющей решения задач стереометрии.

Часто при решении задач необходимо выполнить определенные построения на изображении (провести медиану, указать центр вписанной окружности, построить сечение и т. п.). Эти построения обычно выполняются по свойствам параллельного проектирования.

Пример 1. На произвольном изображении прямоугольного равнобедренного треугольникаАВС (С = 90°) построить изображение: 1) центраО описанной окружности; 2) вписанного квадрата, две стороны которого лежат на катетах

треугольника, а одна из вершин - на гипотенузе ВА .

 Пусть изображением прямоугольного равнобедренного треугольникаАВС (рис.211,а)являетсятреугольникА 1 В 1 С 1 (рис.211,б).

1) Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности является серединой гипотенузы. Поэтому его изображение является серединой изображения гипотенузы.

Построение. Разделим отрезокА 1 В 1 пополам, точка деленияО 1 и является искомой (рис. 211, в).

2)ЕслиизсерединыО гипотенузыАВ провестиперпендикуляры к катетам (см. рис. 211, а), то получим квадрат, удовлетворяющий условию задания. Проведенные перпендикуляры параллельны катетам. Именно этим воспользуемся для построения искомого изображения.

Построение. Из точкиО 1 проводим отрезкиО 1 Е 1 иО 1 F 1 , параллельныеС 1 В 1 иС 1 А 1 соответственно (рис. 211, г). ЧетырехугольникС 1 Е 1 О 1 F 1 является искомым.

Пример 2. На изображении куба построить его сечение плоскостью, проходящей через середины трех параллельных рёбер.

 На рис. 212 середины реберАА 1 ,ВВ 1 ,СС 1 ,DD 1 кубаАBCDA 1 B 1 С 1 D 1 обозначены соответственно черезА 2 ,В 2 , С 2 , D 2 . Изображения этих точек лежат на серединах изоб-ражений соответствующих отрезков (почему?). Пусть секущая плоскость проходитчерез точкиА 2 ,В 2 ,D 2 . Поскольку все грани куба - квадраты, то отрезокА 2 В 2 , проходящий через середины противоположных

Тогда прямая ВЕ задает нужное направление проекти-

Изображение фигур в стереометрии

сторон квадрата АА 1 В 1 В , равен стороне квадратаАВ (или ребру куба) и параллелен этой стороне.

Аналогично D 2 C 2 ||DС иD 2 C 2 =DС . Поскольку иАВ ||DС , то, в соответствии с транзитивностью отношения параллельности,А 2 В 2 ||D 2 C 2 . Через параллельные прямыеА 2 В 2 ,D 2 C 2 проходит единственная плоскость. В этой плоскости лежат точкиА 2 ,В 2 ,D 2 , поэтому данная плоскость является искомой секущей. Секущая плоскость пересекает грани куба по равным отрезкамА 2 В 2 ,В 2 С 2 ,С 2 D 2 иD 2 A 2 . Следовательно, четырехугольникА 2 В 2 С 2 D 2 , являющийся искомым сечением, имеет форму ромба. Нетрудно заметить, что диагоналиВ 2 D 2 иА 2 С 2 этого ромба равны между собой. То есть четырехугольникА 2 В 2 С 2 D 2 - квадрат. Мы не только построили сечение, но и установили его форму.

Рассмотрим обоснование приведенных выше выво- дов относительно изображения основных плоскихфигур.

Теорема 1 (об изображении треугольника).

Любой треугольник может быть изображением данного треугольника.

 Пусть дан треугольникАВС. Возьмем произвольный треугольникKМN. Он может быть изображениям треугольникаАВС , если существуют плоскость проекций и направление проектирования такие, что параллельная проекция треугольникаАВС подобна треугольникуKМN.

Выберем плоскость проекций α так, чтобы она пересекала плоскость треугольника АВС по прямойАС (рис. 213). Нам нужно выбрать направление проектирования так, чтобы проекцией треугольникаАВС на плоскость α был треугольник, подобный треугольникуKМN. Для этого построим в плоскости α треугольникСАЕ, подобный треугольникуKМN с коэффициентом подо-

бия MK AC

рования. Поскольку треугольник САЕ является параллельной проекцией треугольникаАВС, а треугольникиСАЕ иKМN - подобны, то треугольникKМN является изображением треугольни-

ка АВС.

! Эта теорема открывает широкие возможности для выбора изображений данного треугольника, хотя, конечно, не стоит использовать изображения со свойствами, которыми не обладает оригинал. Например, нецелесообразно изображать произвольный треугольник в виде прямоугольного.

Переходя к изображениям других многоугольников, заметим, что для них, как правило, теоремы, аналогичные теореме 1, не имеют места, хотя отдельные их свойства сохраняются при изображении. Прежде всего речь будет идти о параллельности сторон (почему?). В связи с этим приведем еще одну важную теорему.

Теорема 2 (об изображении параллелограмма).

Любой параллелограмм может быть изображением данного параллелограмма.

Доказать эту теорему можно, разбив параллелограммы диагоналями на треугольники и воспользовавшись теоремой 1 (см.

рис. 206, а, б)

Мы уже встречались с ситуациями, когда планиметрические факты имеют аналоги в пространстве. И такие случаи будут встречаться и дальше. Самой простой пространственной фигуре - тетраэдру - соответствует на плоскости треугольник. По теореме 1, любой треугольник может быть изображением данного треугольника. С другой стороны, тетраэдр проектируется в четырехугольник, который после проведения в нем диагоналей становится изображением тетраэдра. Возникает вопрос: может ли произвольный четырехугольник быть изображением данного тетраэдра? Утвердительный ответ на него дает теорема немецких математиков Польке К. (1810–1877) и Шварца Г. (1843–1921). Исходя из нее, можно строить изображение многогранников. Для этого нужно выбрать четыре вершины, не лежащие в одной плоскости. Они являются вершинами некоторого тетраэдра. Потом задать произвольным образом изображение этих точек. А уже тогда достраивать изображение всей фигуры, пользуясь свойствами проектирования.

Изображение фигур в стереометрии

Пример 3. Построить изображение правильного шестиугольника.

 РассмотримправильныйшестиугольникАВСDЕF (рис.214,а). Он обладает свойствами, которые должны сохраняться в его изображениях. Стороны шестиугольника попарно параллельны (АВ ||ЕD, ВС ||ЕF, СD ||АF ). Он имеет центр симметрииО , а отрезки, соединяющие точкуО с вершинами шестиугольника, равны между собой и равняются его стороне. Теперь нетрудно заметить, что достаточно построить изображение параллелограмма (даже ромба)АВСО, чтобы потом достроить к нему изображение всего шестиугольника.

Пусть параллелограмм А 1 В 1 С 1 О 1 является изображением параллелограммаАВСО (это может быть произвольный параллелограмм!). ПродливА 1 О 1 иС 1 О 1 за точкуО 1 так, чтобыО 1 D 1 = А 1 O 1 ,О 1 F 1 =С 1 O 1 , построим параллелограммF 1 О 1 D 1 E 1 (рис. 214, б). По существу, построен параллелограмм, центрально-симметричный параллелограммуА 1 В 1 С 1 О 1 относительно его вершиныО 1 . Соединив точкиА 1 иF 1 , С 1 иD 1 , получим изображение правильного шестиугольника (рис. 214, в).

 Контрольные вопросы

1. Какая из фигур на рис. 215, а)–г) не является изображением квадрата?

2. Какая из фигур на рис. 216, а)–г) не является изображением куба?

3. На каком из рис. 217, а)–г) изображение куба не является правильным?

4. На каком из рис. 218, а)–г) изображение тетраэдра не является правильным?

5. Являетсялипараллельнаяпроекцияфигурыееизображением?

6. Можно ли прямоугольный треугольник считать изображением равнобедренного треугольника?

7. Верно ли, что изображением средней линии треугольника является средняя линия его изображения?

8. Может ли параллелограмм быть изображением трапеции?

9. Может ли треугольник быть изображением тетраэдра?

10. Можно ли тетраэдр изобразить так, чтобы ровно одна его грань была невидимой?

Изображение фигур в стереометрии

11. Какое наименьшее количество рёбер куба может быть видимыми при изображении? А наибольшее?

12. Какой фигурой является изображение: а) отрезка; б) треугольника; в) трапеции; г) параллелограмма; д) п -угольника?

Графические упражнения

1. Установите, каким граням тетраэдра ABCD, изображенного на рис. 219, принадлежат точкиР ,K, М ?

2. Какие пары из точек X ,Y, Z, Т, указанных на изображении тетраэдра на рис. 220, не лежат в одной грани?

3. Какой фигурой является сечение куба плоскостью, проходящей через точки М, N ,Р , указанные на рис. 221, а)–г)?

174°. Дано изображение равнобедренного треугольника в виде разностороннего треугольника. На этом изображении постройте изображение:

1) биссектрисы угла при вершине;

2) перпендикуляра к основанию, проведенного через середину боковой стороны; 3) ромба, две смежные стороны которого совпадают с боко-

выми сторонами треугольника.

175. Наизображенииравнобедренногопрямоугольноготреугольника постройте изображение квадрата, лежащего в плоскости треугольника, если стороной квадрата является:

1°) катет данного треугольника; 2) гипотенуза данного треугольника.

176. На произвольном изображении равностороннего треугольникаАВС постройте изображение:

1°) точки пересечения высот треугольника; 2°) «описанного» прямоугольника, одна из сторон которого

совпадает с некоторой стороной треугольника, а другая содержит противоположную вершину; 3) биссектрисы внешнего угла треугольника.

177. Дано изображение треугольника и двух его высот. Постройте изображение центра окружности, описанной около этого треугольника.

178. На изображении прямоугольного треугольника, один из острых углов которого равен 60°, постройте изображение: 1) биссектрисы этого угла; 2) высоты, проведенной к гипотенузе;

3) центра вписанной окружности.

179°. Постройте изображение ромба и его высоты, проведенной из вершины угла, величина которого составляет 120°.

180. Постройте изображение квадрата, имея изображение точки пересечения его диагоналей и двух:

1°) соседних вершин; 2*) противоположных вершин. 181. На произвольном изображении равнобокой трапеции, боковая сторона которой равна меньшему основанию, постройте

изображение:

1°) оси симметрии трапеции; 2) вписанного прямоугольника, две вершины которого ле-

жат на большем основании и одна из сторон совпадает с меньшим основанием; 3) центра окружности, касающейся боковых сторон и мень-

шего основания трапеции.

182. Дано изображение равнобокой трапеции, углы при основании которой равны 45°. Постройте изображение:

Изображение фигур в стереометрии

1) центра окружности, описанной около трапеции;

2*) центра окружности, касающейся меньшего основания и боковых сторон.

183. Дано изображение окружности и одного из его диаметров. Постройте изображение радиусов окружности, перпендикулярных этому диаметру.

184. Дано изображение кубаАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

1°) Постройте линию пересечения плоскостей DА 1 С 1 иВ 1 D 1 D. 2) Найдите длину отрезка этой линии, содержащегося в кубе, если ребро куба равноа.

3) Постройте сечение куба плоскостью, проходящей через центры трех попарно смежных его граней.

185. Дано изображение тетраэдраАВСD, точкиK ,М иР - серединыDС, АD иВD , соответственно.

1°) Постройте линию пересечения плоскостей АСР иВМK. 2) Найдите длину отрезка этой линии, содержащегося в тетраэдре, если длины всех его рёбер равныа.

3) Постройте сечение тетраэдра плоскостью, проходящей через точки пересечения медиан трех его граней.

186. Постройте сечение тетраэдраSABC плоскостью, проходящей через:

1°) середины рёбер SA, SC иBC ;

2) точку M наAS (AM :AS = 1:2), точкуN наSC (CN :NS = 1:2)

и точку P наBC (CP :PB = 1:2);

3) середины рёбер AS, AB и центр граниSBC ; 4*) центры гранейASB, ABC иBSC.

187. Постройте сечение кубаАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 плоскостью, проходящей через:

1) ребро CD и центр граниAA 1 B 1 B ;

2) диагональ A 1 D и центр граниВСС 1 В 1 ;

3*) середины рёбер AD ,CD и точкуВ ;

4*) центры граней CDD 1 C 1 , СВВ 1 С 1 и точкуА .

Упражнения для повторения

188. Две параллельные прямые пересечены третьей прямой. Один из восьми образовавшихся углов равен 50°. Чему равняется каждый из остальных углов?

189. Дан кубАВСDА 1 В 1 С 1 D 1 .

1) Укажите все рёбра, параллельные ребру AA 1 .

2) Докажите, что ребро DC параллельно пересечению плоскостейABC 1 иA 1 B 1 D .

4) Пусть а - произвольный отрезок в грани куба. Постройте отрезок, параллельный отрезкуа , в несмежной грани куба.

Любой параллелограммможет быть изображением данного параллелограмма.