§36 Моделирование зависимостей между величинами. Величины и их взаимосвязь
Две величины называются прямо пропорциональными , если при увеличении одной из них в несколько раз другая увеличивается во столько же раз. Соответственно, при уменьшении одной из них в несколько раз, другая уменьшается во столько же раз.
Зависимость между такими величинами — прямая пропорциональная зависимость. Примеры прямой пропорциональной зависимости:
1) при постоянной скорости пройденный путь прямо пропорционально зависит от времени;
2) периметр квадрата и его сторона — прямо пропорциональные величины;
3) стоимость товара, купленного по одной цене, прямо пропорционально зависит от его количества.
Чтобы отличить прямую пропорциональную зависимость от обратной можно использовать пословицу: «Чем дальше в лес, тем больше дров».
Задачи на прямо пропорциональные величины удобно решать с помощью пропорции.
1) Для изготовления 10 деталей нужно 3,5 кг металла. Сколько металла пойдет на изготовление 12 таких деталей?
(Рассуждаем так:
1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем больше деталей, тем больше металла нужно для их изготовления. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
Пусть х кг металла нужно для изготовления 12 деталей. Составляем пропорцию (в направлении от начала стрелки к ее концу):
12:10=х:3,5
Чтобы найти , надо произведение крайних членов разделить на известный средний член:
Значит, потребуется 4,2 кг металла.
Ответ: 4,2 кг.
2) За 15 метров ткани заплатили 1680 рублей. Сколько стоят 12 метров такой ткани?
(1. В заполненном столбце стрелку ставим в направлении от большего числа к меньшему.
2. Чем меньше ткани покупают, тем меньше за нее надо заплатить. Значит, это прямо пропорциональная зависимость.
3. Поэтому вторая стрелка одинаково направлена с первой).
Пусть х рублей стоят 12 метров ткани. Составляем пропорцию (от начала стрелки к ее концу):
15:12=1680:х
Чтобы найти неизвестный крайний член пропорции, произведение средних членов делим на известный крайний член пропорции:
Значит, 12 метров стоят 1344 рубля.
Ответ: 1344 рубля.
Cо всякой величиной связаны три основных свойства:
- имя,
- значение,
- тип.
Имя величины может быть смысловым и символическим . Пример смыслового имени - «давление газа», символическое имя для этой же величины - Р.
Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой . Пример константы - число Пифагора ¶=3,14259... . Величина, значение которой может меняться, называется переменной . Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота Н и время падения t.
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин : числовой, символьный, логический. Размерности определяют единицы, в которых представляются значения величин. Например, t (с) - время падения; Н (м) - высота падения.
Математические модели
Если зависимость между величинами удается представить в математической форме, то это математическая модель .
Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Это пример зависимости, представленной в функциональной форме. Эту зависимость называют корневой (время пропорционально квадратному корню высоты).
В более сложных задачах математические модели представляются в виде уравнений или систем уравнений.
Табличные и графические модели
Это другие, не формульные, способы представления зависимостей между величинами. Например, мы решили проверить закон свободного падения тела экспериментальным путем.
| Эксперимент организуем следующим образом: будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения. По результатам эксперимента составим таблицу и нарисуем график. Если каждую пару значений Н и t из данной таблицы подставить в приведенную ранее формулу зависимости высоты от времени, то формула превратится в равенство (с точностью до погрешности измерений). Значит, модель работает хорошо. Однако если сбрасывать не стальной шарик, а большой легкий мяч, то равенство не будет достигаться, а если надувной шарик, то значения левой и правой частей формулы будут различаться очень сильно. Как вы думаете, почему? |  |  |
Точно так же можно отобразить зависимость любого явления физической природы, описываемого известными формулами.
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели . В физике динамические информационные модели описывают движение тел, в биологии - развитие организмов или популяций животных, в химии - протекание химических реакций и т. д.
Модели статистического прогнозирования
Статистика
- наука о сборе, измерении и анализе массовых количественных данных.
Существуют медицинская статистика, экономическая статистика, социальная статистика и другие. Математический аппарат статистики разрабатывает наука под названием математическая статистика
.
| Например, наиболее сильное влияние на бронхиально-легочные заболевания оказывает угарный газ - .
Поставив цель определить эту зависимость, специалисты по медицинской
статистике проводят сбор данных. Полученные данные можно свести в таблицу, а также представить в виде точечной диаграммы.
А как построить математическую модель данного явления? Очевидно, нужно получить формулу, отражающую зависимость количества хронических больных Р от концентрации угарного газа С. На языке математики это называется функцией зависимости Р от С: Р(С). Вид такой функции неизвестен, ее следует искать методом подбора по экспериментальным данным. |  |  |
Отсюда следуют основные требования к искомой функции:
она должна быть достаточно простой для использования ее в дальнейших вычислениях;
график этой функции должен проходить вблизи экспериментальных точек так, чтобы отклонения этих точек от графика были минимальны и равномерны. Полученную функцию в статистике принято называть регрессионной моделью .
Метод наименьших квадратов
Получение регрессионной модели происходит в два этапа:
1) подбор вида функции;
2) вычисление параметров функции.
Первая задача не имеет строгого решения.
Чаще всего выбор производится среди следующих функций:
у = ах + b - линейная функция (полином 1-й степени);
у = ах 2 + bх + с - квадратичная функция
у = а n х n + a (n-1) х n-1 +...+ а 2 х 2 + a 1 х + a 0 - полином n-й степени ;
у = аln (х) + b - логарифмическая функция;
у = ае bх - экспоненциальная функция;
у = ах b - степенная функция.
После выбора одной из предлагаемых функций нужно подобрать параметры (а, b, с и пр.) так, чтобы функция располагалась как можно ближе к экспериментальным точкам, используя метод вычисления параметров. Такой метод был предложен в XVIII веке немецким математиком К. Гауссом. Он называется методом наименьших квадратов (МНК) и очень широко используется в статистической обработке данных и встроен во многие математические пакеты программ. Важно понимать следующее: методом наименьших квадратов по данному набору экспериментальных точек можно построить любую функцию. А вот будет ли она нас удовлетворять, это уже вопрос критерия соответствия. Для нашего примера рассмотрим три функции, построенные методом наименьших квадратов.
Данные рисунки получены с помощью табличного процессора Microsoft Excel. График регрессионной модели называется трендом .
Английское слово «trend» можно перевести как «общее направление», или «тенденция».
График линейной функции - это прямая. По этому графику трудно что-либо сказать о характере этого роста. А вот квадратичный и экспоненциальный тренды правдоподобны.
На графиках присутствует величина, полученная в результате построения трендов. Она обозначена как R 2 . В статистике эта величина называется коэффициентом детерминированности . Именно она определяет, насколько удачной является полученная регрессионная модель. Коэффициент детерминированности всегда заключен в диапазоне от 0 до 1. Чем R 2 ближе к 1, тем удачнее регрессионная модель.
Из трех выбранных моделей значение R 2 наименьшее у линейной. Значит, она самая неудачная. Значения же R 2 у двух других моделей достаточно близки (разница меньше 0,01). Они одинаково удачны.
Прогнозирование по регрессионной модели
Получив регрессионную математическую модель можно прогнозировать процесс путем вычислений, т.е.оценить уровень заболеваемости астмой не только для тех значений, которые были получены путем измерений, но и для других значений.
Если прогноз производится в пределах экспериментальных значений, то это называется восстановлением значения
.
Прогнозирование за пределами экспериментальных данных называется экстраполяцией.
Имея регрессионную модель, легко прогнозировать, производя расчеты с помощью электронных таблиц.
В ряде случаев с экстраполяцией надо быть осторожным. Применимость всякой регрессионной модели ограничена, особенно за пределами
экспериментальной области. В нашем примере при экстраполяции не следует далеко уходить от величины 5 мг/м 3 . Что будет вдали от этой области, мы не знаем. Всякая экстраполяция держится на гипотезе: «предположим, что за пределами экспериментальной области закономерность сохраняется». А если не сохраняется?
Например, квадратичная модель в нашем примере при концентрации, близкой к 0, выдаст 150 человек больных, т. е. больше, чем при 5 мг/м 3 . Очевидно, это нелепость. В области малых значений С лучше работает экспоненциальная модель. Кстати, это довольно типичная ситуация: разным областям данных могут лучше соответствовать разные модели.
Моделирование корреляционных зависимостей
Пусть важной характеристикой некоторой сложной системы является фактор А. На него могут оказывать влияние одновременно многие другие факторы: B,C,D и т. д.
Зависимости между величинами, каждая из которых подвергается неконтролируемому полностью разбросу, называются корреляционными зависимостями.
Раздел математической статистики, который исследует такие зависимости, называется корреляционным анализом. Корреляционный анализ изучает усредненный закон поведения каждой из величин в зависимости от значений другой величины, а также меру такой зависимости.
Оценку корреляции величин начинают с высказывания гипотезы о возможном характере зависимости между их значениями. Чаще всего допускают наличие линейной зависимости. В таком случае мерой корреляционной зависимости является величина, которая называется коэффициентом корреляции .
коэффициент корреляции (обычно обозначаемый греческой буквой ρ ) есть число из диапазона от -1 до +1;
если ρ по модулю близко к 1, то имеет место сильная корреляция, если к 0, то слабая;
близость ρ к +1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует возрастание значений другого набора, близость к -1 означает, что возрастанию значений одного набора соответствует убывание значений другого набора;
значение ρ легко найти с помощью Excel, так как в эту программу встроены соответствующие формулы.
| В качестве примера сложной системы
рассмотрим школу. Пусть хозяйственные расходы школы выражаются
количеством рублей, отнесенных к числу учеников в школе (руб./чел.),
потраченных за определенный период времени (например, за последние 5
лет). Успеваемость же пусть оценивается средним баллом учеников школы по
результатам окончания последнего учебного года. Итоги сбора данных по 20 школам, введенные в электронную таблицу и точечная диаграмма представлены на рисунках. Значения обеих величин: финансовых затрат и успеваемости учеников - имеют значительный разброс и, на первый взгляд, взаимосвязи между ними не видно. Однако она вполне может существовать. В Excel функция вычисления коэффициента корреляции называется КОРРЕЛ и входит в группу статистических функций. Покажем, как ею воспользоваться. На том же листе Excel, где находится таблица, надо установить курсор на любую свободную ячейку и запустить функцию КОРРЕЛ. Она запросит два диапазона значений. Укажем, соответственно, В2:В21 и С2:С21. После их ввода будет выведен ответ: р = 0,500273843. Эта величина говорит о среднем уровне корреляции. Теперь рассмотрим какой параметр из 2-х: оснащённость учебниками или компьютерами является коррелирующим в большей степени, т.е. имеет большее влияние на успеваемость Ниже на рисунке приведены результаты измерения обоих факторов в 11 разных школах. Для обеих зависимостей получены коэффициенты линейной корреляции. Как видно из таблицы, корреляция между обеспеченностью учебниками и успеваемостью сильнее, чем корреляция между компьютерным обеспечением и успеваемостью (хотя и тот, и другой коэффициенты корреляции не очень большие). Отсюда можно сделать вывод, что пока еще книга остается более значительным источником знаний, чем компьютер. |  |
 |  |
Тема: «Моделирование зависимостей между величинами»
Цели урока:
1. Познакомиться с понятиями:
«величины»,
«математическая модель»,
«табличная модель»,
«графическая модель»
Развивающие:
Создать условия для развития умения выделять главное, сравнивать, анализировать, обобщать.
Воспитательные:
Воспитывать внимательность, стремление довести дело до намеченного результата;
Установление взаимных контактов и обмен опытом между учащимися и преподавателем.
Оборудование: компьютер учителя с мультимедийным проектором.
План урока
Организационный момент (2 мин) Постановка целей урока. Объяснение нового материала. (17 мин) Закрепление нового материала (5 мин) Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин) Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин)
Ход урока
Сообщить учащимся тему урока. (слайд 1) Постановка цели урока(слайд 2)
Цели урока:
1. Познакомиться с понятиями:
«величины»,
« зависимости между величинами»,
«математическая модель»,
«табличная модель»,
«графическая модель»
Рассмотреть на примерах зависимости между величинами.
2. Совершенствовать навыки решения заданий из КИМов ЕГЭ.
Объяснение нового материала. (17 мин)(слайд 3)
Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других.
1. Время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты;
2. Давление газа в баллоне зависит от его температуры;
3. Частота заболеваний жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха
(слайд 4)
Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта. Такие характеристики называются величинами. Со всякой величиной связаны три основных свойства: имя, значения, тип.
Имя величины может быть полным (давление газа), а может быть символическим (Р). Для определенных величин используются стандартные имена: время – T, скорость – V, сила – F…
(слайд 5)
Если значение величины не меняется, то она называется постоянной величиной или константой
(π =3,14159…).
Величина, меняющая свое значение, называется переменной.
(слайд 6)
Тип определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Так как мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа.
(Слайд 7)
Вернемся к примерам и обозначим переменные величины, зависимости между которыми нас интересуют.
В примере 1:
Т (сек) – время падения; Н (м) – высота падения. Ускорения свободного падения g (м/сек2) – константа.
В примере 2: Р(н/м2) – давление газа; t° C - температура газа.
В примере 3:
Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей С(мг/куб. м). Уровень заболеваемости характеризуется числом хронических больных астмой на 1000 жителей данного города – Р(бол/тыс.)
(Слайд 8)
Рассмотрим Методы представления зависимостей
Математическая модель Табличная модель Графическая модель
(Слайд 9)
Математическая модель
Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта(процесса) и связей между ними, представленных на языке математики.
Для первого примера математическая модель представляется в виде формулы:
455 " style="width:341.25pt">
(Слайд 11)
Графическая модель
и нарисуем график
 |
(Слайд 12)
Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели.
В физике динамические информационные модели описывают движение тел; в биологии – развитие организмов и популяций животных; в химии – протекание химических реакций и т. д
(слайд 13)
Решение задачи: (1 ученик у доски, остальные в тетрадях)
Построить математическую, табличную и графическую модели задачи:
Тело движется по закону x (t)=5 t2+2 t-5,
где x – перемещение в метрах, t – время в секундах. Найти скорость тела в момент времени t=2.
Построить таблицу, отражающую зависимость скорости тела от времени движения тела с интервалом в 3 секунды.
Закрепление изученного материала.Ответьте на Вопросы:
1. Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами? (ответ 1 ученика )
2. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трёх форм представления
зависимостей. (ответ 1 ученика )
Решение заданий из демоверсии ЕГЭ 2010г (15 мин)
Повторение 10-ой, 2-ой, 8-ой и 16-ой систем счисления.
Решение задания из демоверсии ЕГЭ (1 )
1. Как представлено число 26310 в восьмеричной системе счисления?
Решение:
Как записывается число 5678 в двоичной системе счисления?
(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Решение:
Как записывается число А8716 в восьмеричной системе счисления?
(1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Решение:
Задание А1 из демоверсии 2010г. (1 ученик у доски, остальные в тетрадях )
Дано: а=9D16, b=2378 . Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству
Решение:
Подведение итогов (3 мин) Задание на дом (3 мин) §36, вопросы. Пример.
Дано: а= 3328, b= D416. Какое из чисел С, записанных в двоичной системе счисления, удовлетворяет неравенству a МОДЕЛИРОВАНИЕ ЗАВИСИМОСТЕЙ МЕЖДУ ВЕЛИЧИНАМИ
ТЕХНОЛОГИИ ИНФОРМАЦИОННОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ
Ключевые понятия Применение математического моделирования Применение математического моделирования постоянно требует учета зависимостей одних величин от других. Примеры зависимостей:
Реализация математической модели
требует владения приемами представления зависимостей между величинами. Методы представления зависимостей Величина
– количественная характеристика исследуемого объекта Характеристики величины
отражает смысл величины определяет возможные значения величины Значение
константа переменная Основные типы величин:
Пример константы – число Пифагора
Имя величины может быть
смысловым
смысловым
числовой
«давление газа» В описании процесса падения тела
переменными величинами
являются высота
H
и время падения
t
символьный
символическим
логический
Виды зависимостей Функциональной зависимостью
называется связь между двумя величинами, при которой изменение одной из них вызывает изменение другой. Пример 1:
t
(c) – время падения; H
(m) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой. Пример 2:
P
(н/м 2) – давление газа (в единицах системы СИ давление измеряется в ньютонах на квадратный метр); t
°C – температура газа. Давление при нуле градусов P
0 будем считать константой для данного газа. определенной
. Виды зависимостей Иная зависимость
носит более сложный характер, одна и та же величина может принять разные значения, поскольку на нее могут оказывать влияния и другие показатели. Пример 3:
Загрязненность воздуха характеризуется концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – массы примесей, содержится в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будет характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей данного города P
(бол./тыс.) Зависимость между величинами является полностью определенной
. Математические модели Математические модели -
это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики. Математические модели отражают физические законы и представляются в виде формул: Линейная зависимость Корневая зависимость (время пропорционально квадратному корню высоты) В сложных задачах математические модели представляют в виде уравнений или систем уравнений. Табличные и графические модели Экспериментальным путем проверим закон свободного падения тела
Эксперимент:
стальной шарик сброшен с 6-метровой, 9-метровой высоты и т.д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время падения Результат эксперимента представлен в таблице и графике
Н
, м
t
, c
Табличное и графическое представление зависимости времени падения тела от высоты Динамические модели Информационные модели, которые описывают развитие систем во времени, имеют специальное название: динамические модели
. В физике это движение тел, в биологии – развитие организмов или популяций животных, в химии – протекание химических реакций. Самое основное Имя – отражает смысл величины Тип – определяет возможные значения величин Значение: постоянная величина (константа) или переменная Вопросы и задания Иллюстрации: Источники Моделирование зависимостей
между величинами
«Единственный путь, который ведет к знаниям – это ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ» Б. Шоу Назвался груздем – полезай
в кузов
Как аукнется - так и откликнется.
Значение
По способу представления информационные материальные вербальные знаковые образные компьютерные некомпьютерные Информационные модели
Ч и с л о в о й т и п
Математические
Табличные Графические
Время падения тела на землю зависит от его первоначальной высоты t(с) – время падения; H (м) – высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха; ускорение свободного падения g (м/с 2) будем считать константой Давление газа в баллоне зависит от его температуры P (н/м 2) – давление газа; t (°С) – температура газа. Давление при нуле градусов P 0 будем считать константой для данного газа. Уровень заболеваемости жителей города бронхиальной астмой зависит от концентрации вредных примесей в городском воздухе Загрязненность воздуха будем характеризовать концентрацией примесей – С (мг/м 3). Единица измерения – масса примесей, содержащаяся в 1 кубическом метре воздуха, выраженная в миллиграммах. Уровень заболеваемости будем характеризовать числом хронических больных астмой, приходящихся на 1000 жителей Математическая модель Это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики Табличные и графические модели Проверим закон свободного падения тела экспериментальным путем. Будем бросать стальной шарик с 6-метровой высоты, 9-метровой и т. д. (через 3 метра), замеряя высоту начального положения шарика и время его падения. Таблица и график результатов эксперимента H, м
t, с
Представьте математическую модель зависимости давления газа от температуры T= от 10 до 150 с шагом 10 Рефлексия
Цель
:
выявление уровня осознания содержания пройденного материала Продолжите фразу:
Рефле́ксия (от позднелат. reflexio - обращение назад) - это обращение внимания субъекта на самого себя и на своё сознание, в частности, на продукты собственной активности, а также какое-либо их переосмысление. Домашнее задание Шаг изменения скорости 1 м/с. Результат отправить по адресу: Первый слайд на экране. Добрый день! Садитесь. Откроем рабочие тетради запишем сегодняшнее число и тему урока: «Моделирование зависимостей между величинами». Откройте рабочие тетради запишите сегодняшнюю дату и название темы. А в качестве эпиграфа к уроку я хотел бы взять известную фразу лауреата Нобелевской премии в области литературы Джоржа Бернарда Шоу: «Единственный путь, который ведет к знаниям – это ДЕЯТЕЛЬНОСТЬ» Определите цель сегодняшнего урока. (Научиться моделировать зависимости между величинами). что такое модель? Упрощенное представление о реальном объекте, процессе или явлении, которое отражает его существенные свойства. что такое моделирование? Моделирование Процесс построения моделей для исследования и изучения объектов, процессов или явлений; Метод познания, состоящий в создании и исследовании моделей. Какие вы знаете модели по способу их представления Материальные и информационные Какое стандартное программное обеспечение позволяет нам строить информационные модели? Майкрософт эксесс Майкрософт эксель Какое приложение из перечисленных включает в себя более развитый математический аппарат? Майкрософт эксель Как вы считаете каким стандартным программным обеспечением необходимо научиться пользоваться для получения результата обозначенного темой урока? Майкрософт эксель Второй слайд. Итак, приступим. Перед вами на слайде пословицы: 4. Как аукнется - так и откликнется. 5. Назвался груздем - полезай в кузов. Определите понятие, которое объединяет все эти пословицы. ЗАВИСИМОСТЬ На каких уроках вы встречались с этим понятием? (на математике физике химии биологии информатике и т.д). Какие бывают зависимости? Зависимости бывают математические, физические социальные информационные и т.д. Давайте определим понятие зависимость как вид связи между величинами, объектами и субъектами. Запишите это определение. Отметьте что определение понятия зависимость может изменяться исходя из сферы применения этого понятия. (Например определение наркотической зависимости будет включать в себя составляющие отличные от составляющих информационной зависимости). Отметим еще две существенные формы зависимости величин, имеющих утилитарное значение Это – функциональная и статистическая. В математике функциональной зависимостью переменной Y от переменной Х называют зависимость вида y=f(x). Однако, если X и Y случайные величины, то между ними может существовать зависимость иного рода, называемая статистической. Разновидностью статистической зависимости является корреляционная зависимость, моделированием которой, мы займемся в следующей четверти. Третий слайд Определим понятие величина. Что такое величина? Величина – количественная характеристика исследуемого объекта. Запишем это определение и перечислим свойства величин. Свойства величин: Имя величины. может быть полным (подчеркивающим ее смысл), а может быть символическим. Значение. Если значение величины не изменяется, то она называется постоянной величиной или константой. Пример константы - число Пифагора n =З,14159... Величина, меняющая свое значение, называется переменной. определяет множество значений, которые может принимать величина. Основные типы величин: числовой, символьный, логический. Поскольку при раскрытии темы урока мы будем говорить лишь о количественных характеристиках, то и рассматриваться будут только величины числового типа, описываемые математическими, табличными и графическими моделями. Четвертый слайд Слайд «Место информатики в системе наук» Межпредметное значение информатики в значительной степени проявляется именно через внедрение компьютерного моделирования в различные научные и прикладные области: математику и физику, технику, биологию и медицину, экономику, управление и многие другие. С помощью компьютерного моделирования решаются многие научные и производственные задачи. Гибким инструментом для компьютерного моделирования является MS Excel. Шестой слайд Рассмотрим построение компьютерных моделей на Примерах следующих зависимостей: 1) время падения тела на землю зависит от первоначальной высоты; 2) давление зависит от температуры газа в баллоне; 3) частота заболевания жителей бронхиальной астмой зависит от качества городского воздуха. Рассмотрим различные методы представления зависимостей. Всякое исследование нужно начинать с выделения количественных характеристик исследуемого объекта (процесса, явления). Например, в описании процесса падения тела переменными величинами являются высота (Н) и время падения (t). Кроме имен укажем размерности величин. t (сек) - время падения; Н (ж) - высота падения. Зависимость будем представлять, пренебрегая учетом сопротивления воздуха. Ускорение свободного падения g (м/сек2) - константа. Отметим что Если зависимое между величинами удается представить в математической форме, то мы имеем математическую модель. Математическая модель - это совокупность количественных характеристик некоторого объекта (процесса) и связей между ними, представленных на языке математики. Хорошо известны математические модели для первых двух примеров из перечисленных выше. Они отражают физические законы и представляются в виде формул: Построить самостоятельно табличную и графическую модель процесса изменения давления газа, при изменении температуры. Для того чтобы вспомнить основные принципы работы с MS Excel построим модель процесса падения тела с высоты. Демонстрация на экране. В этом примере мы рассмотрели три способа отображения зависимости величин: функциональный (формула), табличный и графический. Однако математической моделью процесса падения тела на землю можно назвать только формулу. Почему? Потому что формула универсальна. Она позволяет определить время падения тела с любой высоты, а не только для того экспериментального набора значений Н, который отображен на рис. 2.11. Кроме того, таблица и диаграмма (график) констатируют факты, а математическая модель позволяет прогнозировать, предсказывать путем расчетов. Сейчас вы выполните компьютерный тест. Поднимите руки те, кто получил за тест 5. Определите проблемные места. и по завершении тестирования построите модель процесса изменения давления. Исходные данные: t меняется от 0 до 150 с шагом 10 ПРОВЕРИТЬ!!! Коротко о главном Величина - некоторая количественная характеристика объекта. Зависимости между величинами могут быть представлены в виде математической модели, в табличной и графической формах. Зависимость, представленная в виде формулы, является математической моделью. MS Excel явлется гибким доступным и понятным средством моделирования. Вспомним цель, которую поставили в начале урока. Достигли ее? Все ли было понятно на уроке?-рефлексия Вопросы и задания 1. а) Какие вам известны формы представления зависимостей между величинами? б) Что такое математическая модель? в) Может ли математическая модель включать в себя только константы? 2. Приведите пример известной вам функциональной зависимости (формулы) между характеристиками некоторой системы. 3. Обоснуйте преимущества и недостатки каждой из трех форм представления зависимостей. рочитеать &36. Ответить письменно на вопорсы после параграфа. В начале урока будет проверка по созданию зависимости между величинами в программе Excel на время.
