bleat.ru → Рак желудка

Вычисление угла между плоскостями. Нахождение угла между плоскостями (двугранный угол)

Видеокурс «Получи пятерку» включает все темы, необходимые для успешной сдачи ЕГЭ по математике на 60-65 баллов. Полностью все задачи 1-13 Профильного ЕГЭ по математике. Подходит также для сдачи Базового ЕГЭ по математике. Если вы хотите сдать ЕГЭ на 90-100 баллов, вам надо решать часть 1 за 30 минут и без ошибок!

Курс подготовки к ЕГЭ для 10-11 класса, а также для преподавателей. Все необходимое, чтобы решить часть 1 ЕГЭ по математике (первые 12 задач) и задачу 13 (тригонометрия). А это более 70 баллов на ЕГЭ, и без них не обойтись ни стобалльнику, ни гуманитарию.

Вся необходимая теория. Быстрые способы решения, ловушки и секреты ЕГЭ. Разобраны все актуальные задания части 1 из Банка заданий ФИПИ. Курс полностью соответствует требованиям ЕГЭ-2018.

Курс содержит 5 больших тем, по 2,5 часа каждая. Каждая тема дается с нуля, просто и понятно.

Сотни заданий ЕГЭ. Текстовые задачи и теория вероятностей. Простые и легко запоминаемые алгоритмы решения задач. Геометрия. Теория, справочный материал, разбор всех типов заданий ЕГЭ. Стереометрия. Хитрые приемы решения, полезные шпаргалки, развитие пространственного воображения. Тригонометрия с нуля - до задачи 13. Понимание вместо зубрежки. Наглядное объяснение сложных понятий. Алгебра. Корни, степени и логарифмы, функция и производная. База для решения сложных задач 2 части ЕГЭ.

Рассмотрим две плоскости р 1 и р 2 с нормальными векторами n 1 и n 2 . Угол φ между плоскостями р 1 и р 2 выражается через угол ψ = $\widehat{(n_1; n_2)}$ следующим образом: если ψ < 90°, то φ = ψ (рис. 202, а); если ψ > 90°, то ψ = 180° - ψ (рис. 202,6).

Очевидно, что в любом случае справедливо равенство

cos φ = |cos ψ|

Так как косинус угла между ненулевыми векторами равен скалярному произведению этих векторов, деленному на произведение их длин, имеем

$$ cos\psi=cos\widehat{(n_1; n_2)}=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1|\cdot |n_2|} $$

и, следовательно, косинус угла φ между плоскостями р 1 и р 2 может быть вычислен по формуле

$$ cos\phi=\frac{n_1\cdot n_2}{|n_1|\cdot |n_2|} (1)$$

Если плоскости заданы общими уравнениями

А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0,

то за их нормальные векторы можно взять векторы n 1 = (A 1 ; B 1 ; С 1) и n 2 = (A 2 ; B 2 ; С 2).

Записав правую часть формулы (1) через координаты, получим

$$ cos\phi=\frac{|A_1 A_2 + B_1 B-2 + C_1 C_2|}{\sqrt{{A_1}^2+{B_1}^2+{C_1}^2}\sqrt{{A_2}^2+{B_2}^2+{C_2}^2}} $$

Задача 1. Вычислить угол между плоскостями

х - √2 y + z - 2 = 0 и х+ √2 y - z + 13 = 0.

В данном случае A 1 .=1, B 1 = - √2 , С 1 = 1, A 2 =1, B 2 = √2 , С 2 = - 1.

По формуле (2) получаем

$$ cos\phi=\frac{|1\cdot 1 - \sqrt2 \cdot \sqrt2 - 1 \cdot 1|}{\sqrt{1^2+(-\sqrt2)^2+1^2}\sqrt{1^2+(\sqrt2)^2+(-1)^2}}=\frac{1}{2} $$

Следовательно, угол между данными плоскостями равен 60°.

Плоскости с нормальными векторами n 1 и n 2:

а) параллельны тогда и только тогда, когда векторы n 1 и n 2 коллинеарны;

б) перпендикулярны, тогда и только тогда, когда векторы n 1 и n 2 перпендикулярны, т. е. когда n 1 n 2 = 0.

Отсюда получаем.необходимые и достаточные условия параллельности и перпендикулярности двух плоскостей, заданных общими уравнениями.

Для того чтобы плоскости

А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись равенства

$$ \frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2} \;\; (3)$$

В случае, если какой-либо из коэффициентов A 2 , B 2 , С 2 равен нулю, подразумевается, что равен нулю и соответствующий коэффициент A 1 , B 1 , С 1

Невыполнение хотя бы одного из этих двух равенств означает, что плоскости не параллельны, т. е. пересекаются.

Для перпендикулярности плоскостей

А 1 х + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 и А 2 х + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0

необходимо и достаточно, чтобы выполнялось равенство

А 1 А 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 0. (4)

Задача 2. Среди следующих пар плоскостей:

2х + 5у + 7z - 1 = 0 и 3х - 4у + 2z = 0,

у - 3z + 1 = 0 и 2у - 6z + 5 = 0,

4х + 2у - 4z + 1 = 0 и 2х + у + 2z + 3 = 0

указать параллельные или перпендикулярные. Для первой пары плоскостей

А 1 А 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 2 3 + 5 (- 4) + 7 2 = 0,

т. е. выполняется условие перпендикулярности. Плоскости перпендикулярны.

Для второй пары плоскостей

$\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}$, так как $\frac{1}{2}=\frac{-3}{-6} $

а коэффициенты А 1 и А 2 равны нулю. Следовательно, плоскости второй пары параллельны. Для третьей пары

$\frac{B_1}{B_2}\neq\frac{C_1}{C_2}$, так как $\frac{2}{1}\neq\frac{-4}{2} $

и А 1 А 2 + B 1 B 2 + C 1 C 2 = 4 2 + 2 1 - 4 2 =/= 0, т. е. плоскости третьей пары не параллельны и не перпендикулярны.

Мерой угла между плоскостями является острый угол, образованный двумя прямыми, лежащими в этих плоскостях и проведенными перпендикулярно линии их пересечения.

Алгоритм построения

Из произвольной точки K проводят перпендикуляры к каждой из заданных плоскостей.
Способом вращения вокруг линии уровня определяют величину угла γ° с вершиной в точке K.
Вычисляют угол между плоскостями ϕ° = 180 – γ° при условии, что γ° > 90°. Если γ° < 90°, то ∠ϕ° = ∠γ°.

На рисунке представлен случай, когда плоскости α и β заданы следами. Все необходимые построения выполнены согласно алгоритму и описаны ниже.

Решение

В произвольном месте чертежа отмечаем точку K. Из неё опускаем перпендикуляры m и n соответственно к плоскостям α и β. Направление проекций m и n следующее: m""⊥f 0α , m"⊥h 0α , n""⊥f 0β , n"⊥h 0β .
Определяем действительный размер ∠γ° между прямыми m и n. Для этого вокруг фронтали f поворачиваем плоскость угла с вершиной K в положение, параллельное фронтальной плоскости проекции. Радиус поворота R точки K равен величине гипотенузы прямоугольного треугольника O""K""K 0 , катет которого K""K 0 = y K – y O .
Искомый угол ϕ° = ∠γ°, поскольку ∠γ° острый.

На рисунке ниже показано решение задачи, в которой требуется найти угол γ° между плоскостями α и β, заданными параллельными и пересекающимися прямыми соответственно.

Решение

Определяем направление проекций горизонталей h 1 , h 2 и фронталей f 1 , f 2 , принадлежащих плоскостям α и β, в порядке, указанном стрелками. Из произвольной точки K на пл. α и β опускаем перпендикуляры e и k. При этом e""⊥f"" 1 , e"⊥h" 1 и k""⊥f"" 2 , k"⊥h" 2 .
Определяем ∠γ° между прямыми e и k. Для этого проводим горизонталь h 3 и вокруг неё поворачиваем точку K в положение K 1 , при котором △CKD станет параллелен горизонтальной плоскости и отразится на ней в натуральную величину – △C"K" 1 D". Проекция центра поворота O" находится на проведенном к h" 3 перпендикуляре K"O". Радиус R определяется из прямоугольного треугольника O"K"K 0 , у которого сторона K"K 0 = Z O – Z K .
Значение искомого ∠ϕ° = ∠γ°, так как угол γ° острый.

Теорема

Угол между плоскостями не зависит от выбора секущей плоскости.

Доказательство.

Пусть есть две плоскости α и β, которые пересекаются по прямой с. проведем плоскость γ перпендикулярно прямой с. Тогда плоскость γ пересечет плоскости α и β по прямым a и b соответственно. Угол между плоскостями α и β равен углу между прямыми a и b.
Возьмем другую секущую плоскость γ`, перпендикулярную с. Тогда плоскость γ` пересечет плоскости α и β по прямым a` и b` соответственно.
При параллельном переносе точка пересечения плоскости γ с прямой с перейдет в точку пересечения плоскости γ` с прямой с. при этом по свойству параллельного переноса прямая a перейдет в прямую a`, b – в прямую b`. следовательно углы между прямыми a и b, a` и b` равны. Теорема доказана.

Эта статья посвящена углу между плоскостями и его нахождению. Сначала приведено определение угла между двумя плоскостями и дана графическая иллюстрация. После этого разобран принцип нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями методом координат, получена формула, позволяющая вычислять угол между пересекающимися плоскостями по известным координатам нормальных векторов этих плоскостей. В заключении показаны подробные решения характерных задач.

Навигация по странице.

Угол между плоскостями - определение.

При изложении материала мы будем использовать определения и понятия, данные в статьяхплоскость в пространстве и прямая в пространстве.

Приведем рассуждения, которые позволят постепенно подойти к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Пусть нам даны две пересекающиеся плоскости и . Эти плоскости пересекаются по прямой, которую обозначим буквой c . Построим плоскость , проходящую через точку М прямой c и перпендикулярную к прямой c . При этом плоскость будет пересекать плоскости и . Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и как a , а прямую, по которой пересекаются плоскости и как b . Очевидно, прямые a и b пересекаются в точкеМ .

Легко показать, что угол между пересекающимися прямыми a и b не зависит от расположения точки М на прямой c , через которую проходит плоскость .

Построим плоскость , перпендикулярную к прямой c и отличную от плоскости . Плоскость пересекают плоскости и по прямым, которые обозначим a 1 и b 1 соответственно.

Из способа построения плоскостей и следует, что прямые a и b перпендикулярны прямой c , и прямые a 1 и b 1 перпендикулярны прямой c . Так как прямые a и a 1 c , то они параллельны. Аналогично, прямые b и b 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , следовательно, они параллельны. Таким образом, можно выполнить параллельный перенос плоскости на плоскость , при котором прямая a 1 совпадет с прямой a , а прямая b с прямой b 1 . Следовательно, угол между двумя пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Этим доказано, что угол между пересекающимися прямыми a и b , лежащими в пересекающихся плоскостях и , не зависит от выбора точки M , через которую проходит плоскость . Поэтому, логично этот угол принять за угол между двумя пересекающимися плоскостями.

Теперь можно озвучить определение угла между двумя пересекающимися плоскостями и .

Определение.

Угол между двумя пересекающимися по прямой c плоскостями и – это угол между двумя пересекающимися прямыми a и b , по которым плоскости и пересекаются с плоскостью , перпендикулярной к прямой c .

Определение угла между двумя плоскостями можно дать немного иначе. Если на прямой с , по которой пересекаются плоскости и , отметить точку М и через нее провести прямые а и b , перпендикулярные прямой c и лежащие в плоскостях и соответственно, то угол между прямыми а и b представляет собой угол между плоскостями и . Обычно на практике выполняют именно такие построения, чтобы получить угол между плоскостями.

Так как угол между пересекающимися прямыми не превосходит , то из озвученного определения следует, что градусная мера угла между двумя пересекающимися плоскостями выражается действительным числом из интервала . При этом, пересекающиеся плоскости называют перпендикулярными , если угол между ними равен девяноста градусам. Угол между параллельными плоскостями либо не определяют совсем, либо считают его равным нулю.

К началу страницы

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Обычно при нахождении угла между двумя пересекающимися плоскостями сначала приходится выполнять дополнительные построения, чтобы увидеть пересекающиеся прямые, угол между которыми равен искомому углу, и после этого связывать этот угол с исходными данными при помощи признаков равенства, признаков подобия, теоремы косинусов или определений синуса, косинуса и тангенса угла. В курсе геометрии средней школы встречаются подобные задачи.

Для примера приведем решение задачи С2 из ЕГЭ по математике за 2012 год (условие намерено изменено, но это не влияет на принцип решения). В ней как раз нужно было найти угол между двумя пересекающимися плоскостями.

АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ=3 , AD=2 , АА 1 =7 и точка E делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А АВС и ВЕD 1 .

Для начала сделаем чертеж.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями.

Для начала определим прямую линию, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 . Точка В – это одна из их общих точек. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые DA и D 1 E лежат в одной плоскости АDD 1 , причем они не параллельны, а, значит, пересекаются. С другой стороны, прямая DA лежит в плоскости АВС , а прямаяD 1 E – в плоскости BED 1 , следовательно, точка пересечения прямых DA и D 1 E будет общей точкой плоскостей АВС и BED 1 . Итак, продолжим прямые DA и D 1 E до их пересечения, обозначим точку их пересечения буквой F . Тогда BF – прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 .

Осталось построить две прямые, лежащие в плоскостях АВС и BED 1 соответственно, проходящие через одну точку на прямой BF и перпендикулярные прямой BF , - угол между этими прямыми по определению будет равен искомому углу между плоскостямиАВС и BED 1 . Сделаем это.

Точка А является проекцией точки Е на плоскость АВС . Проведем прямую, пересекающую под прямым углом прямую ВF в точке М . Тогда прямая АМ является проекцией прямой ЕМ на плоскость АВС , и по теореме о трех перпендикулярах .

Таким образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен .

Синус, косинус или тангенс этого угла (а значит и сам угол) мы можем определить из прямоугольного треугольника АЕМ , если будем знать длины двух его сторон. Из условия легко найти длину АЕ : так как точка Е делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А , а длина стороны АА 1 равна 7 , то АЕ=4 . Найдем еще длину АМ .

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВF с прямым углом А , где АМ является высотой. По условию АВ=2 . Длину стороны АF мы можем найти из подобия прямоугольных треугольников DD 1 F и AEF :

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим . Длину АМ найдем через площадь треугольникаАBF : c одной стороны площадь треугольника АВF равна , с другой стороны , откуда .

Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем .

Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен (заметим, что ).

В некоторых случаях для нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями удобно задать прямоугольную систему координат Oxyz и воспользоваться методом координат. На нем и остановимся.

Поставим задачу: найти угол между двумя пересекающимися плоскостями и . Обозначим искомый угол как .

Будем считать, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz нам известны координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей и или имеется возможность их найти. Пусть - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Покажем, как найти угол между пересекающимися плоскостями и через координаты нормальных векторов этих плоскостей.

Обозначим прямую, по которой пересекаются плоскости и , как c . Через точку М на прямой c проведем плоскость , перпендикулярную к прямой c . Плоскость пересекает плоскости и по прямым a и b соответственно, прямые a и b пересекаются в точке М . По определению угол между пересекающимися плоскостями и равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Отложим от точки М в плоскости нормальные векторы и плоскостей и . При этом вектор лежит на прямой, которая перпендикулярна прямой a , а вектор - на прямой, которая перпендикулярна прямой b . Таким образом, в плоскости вектор - нормальный вектор прямой a , - нормальный вектор прямой b .

В статье нахождение угла между пересекающимися прямыми мы получили формулу, которая позволяет вычислять косинус угла между пересекающимися прямыми по координатам нормальных векторов. Таким образом, косинус угла между прямыми a и b , а, следовательно, икосинус угла между пересекающимися плоскостями и находится по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Тогда угол между пересекающимися плоскостями вычисляется как .

Решим предыдущий пример методом координат.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ=3 , AD=2 , АА 1 =7 и точка E делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А . Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1 .

Так как стороны прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат Oxyz так: начало совместить с вершиной С , а координатные оси Ox , Oy и Oz направить по сторонам CD , CB и CC 1 соответственно.

Угол между плоскостями АВС и BED 1 может быть найден через координаты нормальных векторов этих плоскостей по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей АВС иBED 1 соответственно. Определим координаты нормальных векторов.

Так как плоскость АВС совпадает с координатной плоскостью Oxy , то ее нормальным вектором является координатный вектор , то есть, .

В качестве нормального вектора плоскости BED 1 можно принять векторное произведение векторов и , в свою очередь координаты векторов и можно найти через координаты точек В , Е и D 1 (о чем написано в статье координаты вектора через координаты точек его начала и конца), а координаты точек В , Е и D 1 во введенной системе координат определим из условия задачи.

Очевидно, . Так как , то по координатам точек находим (при необходимости смотрите статьюделение отрезка в заданном отношении). Тогда иOxyz уравнениями и .

Когда мы изучали общее уравнение прямой вида , то выяснили, что коэффициенты А , В и С представляют собой соответствующие координаты нормального вектора плоскости. Таким образом, и - нормальные векторы плоскостей и соответственно.

Подставляем координаты нормальных векторов плоскостей в формулу для вычисления угла между двумя пересекающимися плоскостями:

Тогда . Так как угол между двумя пересекающимися плоскостями не тупой, то с помощью основного тригонометрического тождества находим синус угла: .

Навигация по странице.

Угол между плоскостями - определение.

Построим плоскость , перпендикулярную к прямой c и отличную от плоскости . Плоскость пересекают плоскости и по прямым, которые обозначим a 1 и b 1 соответственно.

Из способа построения плоскостей и следует, что прямые a и b перпендикулярны прямой c , и прямые a 1 и b 1 перпендикулярны прямой c . Так как прямые a и a 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , то они параллельны. Аналогично, прямые b и b 1 лежат в одной плоскости и перпендикулярны прямой c , следовательно, они параллельны. Таким образом, можно выполнить параллельный перенос плоскости на плоскость , при котором прямая a 1 совпадет с прямой a , а прямая b с прямой b 1 . Следовательно, угол между двумя пересекающимися прямыми a 1 и b 1 равен углу между пересекающимися прямыми a и b .

Теперь можно озвучить определение угла между двумя пересекающимися плоскостями и .

Определение.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Пример.

Решение.

Для начала сделаем чертеж.

Выполним дополнительные построения, чтобы «увидеть» угол между плоскостями.

Для начала определим прямую линию, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 . Точка В – это одна из их общих точек. Найдем вторую общую точку этих плоскостей. Прямые DA и D 1 E лежат в одной плоскости АDD 1 , причем они не параллельны, а, значит, пересекаются. С другой стороны, прямая DA лежит в плоскости АВС , а прямая D 1 E – в плоскости BED 1 , следовательно, точка пересечения прямых DA и D 1 E будет общей точкой плоскостей АВС и BED 1 . Итак, продолжим прямые DA и D 1 E до их пересечения, обозначим точку их пересечения буквой F . Тогда BF – прямая, по которой пересекаются плоскости АВС и BED 1 .

Осталось построить две прямые, лежащие в плоскостях АВС и BED 1 соответственно, проходящие через одну точку на прямой BF и перпендикулярные прямой BF , - угол между этими прямыми по определению будет равен искомому углу между плоскостями АВС и BED 1 . Сделаем это.

Точка А является проекцией точки Е на плоскость АВС . Проведем прямую, пересекающую под прямым углом прямую ВF в точке М . Тогда прямая АМ является проекцией прямой ЕМ на плоскость АВС , и по теореме о трех перпендикулярах .

Таким образом, искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен .

Синус, косинус или тангенс этого угла (а значит и сам угол) мы можем определить из прямоугольного треугольника АЕМ , если будем знать длины двух его сторон. Из условия легко найти длину АЕ : так как точка Е делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А , а длина стороны АА 1 равна 7 , то АЕ=4 . Найдем еще длину АМ .

Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник АВF с прямым углом А , где АМ является высотой. По условию АВ=2 . Длину стороны АF мы можем найти из подобия прямоугольных треугольников DD 1 F и AEF :

По теореме Пифагора из треугольника АВF находим . Длину АМ найдем через площадь треугольника АBF : c одной стороны площадь треугольника АВF равна , с другой стороны , откуда .

Таким образом, из прямоугольного треугольника АЕМ имеем .

Тогда искомый угол между плоскостями АВС и BED 1 равен (заметим, что ).

Ответ:

В некоторых случаях для нахождения угла между двумя пересекающимися плоскостями удобно задать Oxyz и воспользоваться методом координат. На нем и остановимся.

Поставим задачу: найти угол между двумя пересекающимися плоскостями и . Обозначим искомый угол как .

Будем считать, что в заданной прямоугольной системе координат Oxyz нам известны координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей и или имеется возможность их найти. Пусть - нормальный вектор плоскости , а - нормальный вектор плоскости . Покажем, как найти угол между пересекающимися плоскостями и через координаты нормальных векторов этих плоскостей.

В статье нахождение угла между пересекающимися прямыми мы получили формулу, которая позволяет вычислять косинус угла между пересекающимися прямыми по координатам нормальных векторов. Таким образом, косинус угла между прямыми a и b , а, следовательно, и косинус угла между пересекающимися плоскостями и находится по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей и соответственно. Тогда вычисляется как .

Решим предыдущий пример методом координат.

Пример.

Дан прямоугольный параллелепипед АВСDA 1 B 1 C 1 D 1 , в котором АВ=2 , AD=3 , АА 1 =7 и точка E делит сторону АА 1 в отношении 4 к 3 , считая от точки А . Найдите угол между плоскостями АВС и ВЕD 1 .

Решение.

Так как стороны прямоугольного параллелепипеда при одной вершине попарно перпендикулярны, то удобно ввести прямоугольную систему координат Oxyz так: начало совместить с вершиной С , а координатные оси Ox , Oy и Oz направить по сторонам CD , CB и CC 1 соответственно.

Угол между плоскостями АВС и BED 1 может быть найден через координаты нормальных векторов этих плоскостей по формуле , где и – нормальные векторы плоскостей АВС и BED 1 соответственно. Определим координаты нормальных векторов.