bleat.ru → Язва

Виды письменной нумерации. Системы счисления

Клинообразная нумерация . Еще халдеи и вавилоняне имели письменные знаки для изображения чисел. Их нумерация носит название клинообразной и встречается на гробницах древних персидских царей.

Иероглифическая нумерация . Египтяне приписывают изобретение арифметики мифическому лицу Тоту (Фоту). Они имели десятичное счисление еще при Фра-Сезострисе. Египетская нумерация носит название иероглифической . Египтяне обозначали единицу, десяток, сотню и тысячу особыми знаками, иероглифами . Несколько единиц, десятков, сотен и тысяч изображались простым построение этих знаков.

Китайская нумерация . К числу древнейших нужно отнести также нумерацию китайскую . По уверению китайцев, они пользуются ею со времен Фуги, китайского императора, жившего за 300 лет до Р. Х. В этой нумерации первые девять чисел изображаются особыми знаками. Существовали также знаки для обозначения 10, 100, 1000. Большие числа писались колоннами сверху вниз.

Финикийская нумерация . Наконец, к древнейшим нужно отнести еще нумерацию финикийскую . Финикияне, сравнительно с египтянами, совершили реформу в нумерации в том смысле, что заменили иероглифы буквами своего алфавита. Этой нумерацией пользовались и евреи.

Финикияне и евреи изображали первые девять чисел и первые девять десятков 18 начальными буквами своего алфавита и писали большие числа от правой руки к левой.

В самом Египте была оставлена иероглифическая нумерация и введены сначала иератическая, а потом для всеобщего употребления демотические письмена (за 600 л. до Р. Х.). В иератической нумерации три первых числа сходны с настоящими цифрами.

Греческая, римская и церковно-славянская нумерация . Греки переняли у финикиян систему изображать числа буквами. Некоторые утверждают, что до тех пор они изображали числа теми самыми знаками, которые известны под именем римской нумерации, и что римская нумерация есть, таким образом, древняя греческая. Церковно-славянская есть не что иное, как греческая, выраженная только славянскими буквами.

Римляне при изображении чисел пользовались следующими знаками:

1 – I, 5 – V, 10 – X, 50 – L, 100 – C, 500 – D, 1000 – M.

При изображении остальных чисел они руководствовались следующим правилом:

Если меньшая цифра следует за большей, она увеличивает числ ан свою величину; если же меньшая цифра предшествует большей, она уменьшает число на свою величину.

Сообразно с этим правилом, они следующим образом изображали числа:

1 – I, 2 – II, 3 – III, 4 – IV, 5 – V, 6 – VI, 7 – VII, 8 – VIII, 9 – IX, 10 – X, 11 – XI, 12 – XII, 13 – XIII, 14 – XIV, 15 – XV, 16 – XVI, 17 – XVII, 18 – XVIII, 19 – XIX, 20 – XX, … 27 – XXVII, … 40 – XL, 60 – LX, 90 – XC, 100 – C, 110 – CX, 150 – CL, 400 – CD, 600 – DC, 900 – CM, 1100 – MC.

Числа, состоящие из нескольких тысяч, писались, как пишутся числа до тысячи, с тою только разницей, что после числа тысяч внизу с правой стороны приписывалась буква m (mille - тысяча). Таким образом, 505197 = DV m CXCVII.

В славянском и греческом счислении обозначались особыми буквами первые девять чисел, девять десятков и девять сотен.

В славянском счислении ставят на буквой титло (¯ ), для обозначения того, что буква изображает число.

В нижеследующей таблицы приведены параллельно греческая и славянская нумерации:

Для обозначения тысяч перед числом тысяч ставился в славянском счислении знак , а в греческом счислении к числу, обозначавшему тысячи, присоединялась снизу черточка.

Таким образом,

Происхождение и распространение десятичной нумерации

Хотя нельзя еще сделать окончательный вывод относительно изображения, введения и распространения по Европе десятичной системы нумерации, однако, литература дает многие весьма важные указания по этому вопросу. Некоторые называют эту систему арабской. Действительно, из истории видно, что десятичная система заимствована у арабов. Так, известно, что в начале XIII столетия тосканский купец Леонард познакомил своих соотечественников с приемами десятичной системы после своего путешествия по Сирии и Египту. Сарко-Боско, известный преподаватель математики в Париже (умер в 1256 г.), и Рожер Бекон своими сочинениями наиболее содействовали распространению этой системы по Европе. Они уже указывают, что десятичная нумерация заимствована арабами у индийцев. Из памятников арабской литературы достоверно известно, что Абу-Абдаллах-Магомет-Ибн-Муза, родом из Кораизма, в IX столетии долго путешествовал по Индии и познакомил после своего возвращения арабских ученых с индийской нумерацией. Арабские писатели Авицена Абен-Рагель и Альсефади также приписывают изобретение нумерации индийцам.

Письменные памятники санскрита, языка древней Индии, подтверждают указания арабских писателей.

Из сочинения Баскары, индийского писателя XII века, видно, что индийцам было известно за несколько столетий до Баскары изображение чисел десятью знаками, ибо в этом сочинении изложена связкая теория четырех арифметических действий и даже извлечение квадратных корней. Как Баскара, так и более древний писатель Брамегупта считают факт изобретения нумерации очень древним. У писателя еще более древнего Ариабгата мы встречаем решение многих замечательных математических вопросов.

Эти указания, кажется, делают мало вероятными уверения французского геометра Шаля, что десятичная система есть развитие римского способа пользоваться при вычислениях столиком для вычисления (Abacus) и что достаточно было одного введения нуля, чтобы получить настоящую десятичную систему.

Арифметика и логистика у греков . Греки называли арифметикой учение об общих свойствах чисел. Искусство же считать, или совокупность практических приемов при вычислении, греки называли логистикой .

Цель всякой нумерации - изображение любого натурального числа с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака - 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание - к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, лежащая в основе такой системы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически не пригодна, и ею пользуются только народы, у которых счет не выходит за пределы од-ного-двух десятков.

С развитием человеческого общества увеличиваются знания людей и все больше становится потребность считать и записывать результаты счета довольно больших множеств, измерения больших величин.

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр, каждую вещь, каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающие то или другое количество. Постепенно они упрощались, становились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Иероглифы древних египтян свидетельствуют о том, что искусство счета было развито у них достаточно высоко, с помощью иероглифов изображались большие числа. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удобными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н.э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали. Письменность древних вавилонян называлась клинописью. Клинышки размещались и горизонтально, и вертикально в зависимости от их значения. Вертикальные клинышки обозначали единицы, а горизонтальные, так называемые десятки - единицы второго разряда.

Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков. По имени ученого, который предложил ее, она вошла в историю культуры под названием геродианова нумерация. Так, в этой нумерации число «пять» называлось «pinta» и обозначалось буквой «Р», а число десять называлось «deka» и обозначалось буквой «Д». В настоящее время этой нумерацией не пользуется никто. В отличие от нее римская нумерация сохранилась и дошла до наших дней. Хотя теперь римские цифры встречаются не так часто: на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, столетий, на старых строениях и т.д. В римской нумерации есть семь узловых знаков: I, V, X, L, С, D, М.

Можно предположить, как появились эти знаки. Знак (1) - единица - это иероглиф, который изображает I палец (каму), знак V - изображение руки (запястье руки с отставленным большим пальцем), а для числа 10 - изображение вместе двух пятерок (X). Чтобы записать числа II, III, IV, пользуются теми же самыми знаками, отображая действия с ними. Так, числа II и III повторяют единицу соответствующее число раз. Для записи числа IV перед пятью ставится I. В этой записи единица, поставленная перед пятеркой, вычитается из V, а единицы, поставленные за V,

прибавляются к ней. И точно так же единица, записанная перед десятью (X), отнимается от десяти, а та, что стоит справа, - прибавляется к ней. Число 40 обозначается XL. В этом случае от 50 отнимается 10. Для записи числа 90 от 100 отнимается 10 и записывается ХС.

Римская нумерация весьма удобна для записи чисел, но почти не пригодна для проведения вычислений. Никаких действий в письменном виде (расчеты «столбиками» и другие приемы вычислений) с римскими цифрами проделать практически невозможно. Это очень большой недостаток римской нумерации.

У некоторых народов запись чисел осуществлялась буквами алфавита, которыми пользовались в грамматике. Эта запись имела место у славян, евреев, арабов, грузин.

Алфавитная система нумерации впервые была использована в Греции. Самую древнюю запись, сделанную по этой системе, относят к середине V в. до н.э. Во всех алфавитных системах числа от 1 до 9 обозначали индивидуальными символами с помощью соответствующих букв алфавита. В греческой и славянской нумерациях над буквами, которые обозначали цифры, чтобы отличить числа от обычных слов, ставилась черточка «титло» (~). Например, а, б, <Г и Т -Д-Все числа от 1 до 999 записывали на основе принципа прибавления из 27 индивидуальных знаков для цифр. Пробы записать в этой системе числа больше тысячи привели к обозначениям, которые можно рассматривать как зародыши позиционной системы. Так, для обозначения единиц тысяч использовались те же буквы, что и для единиц, но с черточкой слева внизу, например, @ , q ; и т.д.

Следы алфавитной системы сохранились до нашего времени. Так, часто буквами мы нумеруем пункты докладов, резолюций и т.д. Однако алфавитный способ нумерации сохранился у нас только для обозначения порядковых числительных. Количественные числа мы никогда не обозначаем буквами, тем более никогда не оперируем с числами, записанными в алфавитной системе.

Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Сейчас существует индийская система записи чисел. Завезена она в Европу арабами, поэтому и получила название арабской нумерации. Арабская нумерация распространилась по всему миру, вытеснив все другие записи чисел. В этой нумерации для записи чисел используется 10 значков, которые называются цифрами. Девять из них обозначают числа от 1 до 9.

2 Заказ 1391

Десятый значок - нуль (0) - означает отсутствие определенного разряда чисел. С помощью этих десяти знаков можно записать какие угодно большие числа. До XVIII в. на Руси письменные знаки, кроме нуля, назывались знамениями.

Итак, у народов разных стран была различная письменная нумерация: иероглифическая - у египтян; клинописная - у вавилонян; геродианова - у древних греков, финикийцев; алфавитная - у греков и славян; римская - в западных странах Европы; арабская - на Ближнем Востоке. Следует сказать, что теперь почти везде используется арабская нумерация.

Анализируя системы записи чисел (нумерации), которые имели место в истории культур разных народов, можно сделать вывод о том, что все письменные системы делятся на две большие группы: позиционные и непозиционные системы счисления.

К непозиционным системам счисления принадлежат: запись чисел иероглифами, алфавитная, римская и некоторые другие системы. Непозиционная система счисления - это такая система записи чисел, когда содержание каждого символа не зависит от места, на котором он написан. Эти символы являются как бы узловыми числами, а алгорифмические числа комбинируются из этих символов. Например, число 33 в непозиционной римской нумерации записывается так: XXXIII. Здесь знаки X (десять) и I (единица) используются в записи числа каждый по три раза. Причем каждый раз этот знак обозначает ту же самую величину: X - десять единиц, I - единица, независимо от места, на котором они стоят в ряду других знаков.

В позиционных системах каждый знак имеет разное значение в зависимости от того, на котором месте в записи числа он стоит. Например, в числе 222 цифра «2» повторяется трижды, но первая цифра справа обозначает две единицы, вторая - два десятка, а третья - две сотни. В этом случае мы имеем в виду десятичную систему счисления. Наряду с десятичной системой счисления в истории развития математики имели место двоичная, пятиричная, двадцатиричная и др.

Позиционные системы счисления удобны тем, что они дают возможность записывать большие числа с помощью сравнительно небольшого количества знаков. Важное преимущество позиционных систем - простота и легкость выполнения арифметических операций над числами, записанными в этих системах.

Появление позиционных систем обозначения чисел было одной из основных вех в истории культуры. Следует сказать, что это произошло не случайно, а как закономерная ступень в культурном развитии народов. Подтверждением этого является самостоятельное возникновение позиционных систем у разных народов: у вавилонян - более чем за 2 тыс. лет до н.э.; у племен майя (центральная Америка) - в начале но-вой"эры; у индусов - в IV-VI в. н.э.

Происхождение позиционного принципа прежде всего следует пояснить появлением мультипликативной формы записи. Мультипликативная запись - это запись с помощью умножения. Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число 154 можно записать: 1хЮ 2 +5х10+4. Как видим, в этой записи отображается тот факт, что при счете некоторые количества единиц первого разряда, в данном случае десять единиц, берутся за одну единицу следующего разряда, определенное количество единиц второго разряда берется, в свою очередь, за единицу третьего разряда и т.д. Это позволяет для изображения количества единиц разных разрядов использовать одни и те же числовые символы. Эта же запись возможна при счете любых элементов конечных множеств.

В пятиричной системе счет осуществляется «пятками» - по пять. Так, африканские негры считают на камушках или орехах и складывают их в кучи по пять предметов в каждой. Пять таких куч они объединяют в новую кучку и т.д. При этом сначала пересчитывают камушки, потом кучки, потом большие кучи. При таком способе счета подчеркивается то обстоятельство, что с кучами камешков следует производить те же самые операции, что и с отдельными камешками. Технику счета по этой системе иллюстрирует русский путешественник Миклухо-Маклай. Так, характеризуя процесс пересчитывания товара туземцами Новой Гвинеи, он пишет, что чтобы посчитать количество полосок бумаги, которые обозначали число дней до возвращения корвета «Витязь», папуасы делали следующее: первый, раскладывая полоски бумаги на коленях, при каждом откладывании повторял «каре» (один), «каре» (два) и так до десяти, второй повторял это же слово, но при этом загибал пальцы сначала на одной, потом на другой руке. Досчитав до десяти и загнувши пальцы обеих рук, папуас опускал оба кулака на колени, проговаривая «ибен каре» - две руки. Третий папуас при этом загибал один палец на руке. С другим десятком было

выполнено то же самое, причем третий папуас загибал второй палец, а для третьего десятка - третий палец и т.д. Подобный счет имел место и у других народов. Для такого счета необходимы были не менее чем три человека. Один считал единицы, другой - десятки, третий - сотни. Если же заменить пальцы тех, кто считал, камушками, помещенными в разные выемки глиняной доски или нанизанными на прутики, то получился бы самый простой счетный прибор.

Со временем названия разрядов при записи чисел начали пропускать. Однако для завершения позиционной системы недоставало последнего шага - введения нуля. При сравнительно небольшой основе счета, какой было число 10, и оперировании сравнительно большими числами, особенно после того как названия разрядных единиц начали пропускать, введение нуля стало просто необходимым. Символ нуля сначала мог быть изображением пустого жетона абака или видоизмененной простой точки, которую могли поставить на месте пропущенного разряда. Так или иначе, однако введение нуля было совершенно неизбежным этапом закономерного процесса развития, который и привел к созданию современной позиционной системы.

В основе системы счисления может быть любое число, кроме 1 (единицы) и 0 (нуля). В Вавилоне, например, было число 60. Если за основу системы счисления берется большое число, то запись числа будет очень короткой, однако выполнение арифметических действий будет более сложным. Если же, наоборот, взять число 2 или 3, то арифметические действия выполняются очень легко, но сама запись станет громоздкой. Можно было бы заменить десятичную систему на более удобную, но переход к ней был бы связан с большими трудностями: прежде всего довелось бы перепечатывать заново все научные книги, переделывать все счетные приборы и машины. Вряд ли такая замена была бы целесообразной. Десятичная система стала привычной, а значит, и удобной.

Упражнения для самопроверка

Последовательный ряд чисел опреде-

алгорифмических

операция

вычитание

Для записи чисел разные народы изобретали различные.... Так, до наших

дней дошли такие виды записи: ....... ,

геродианова, ..., римская и др.

И в настоящее время люди иногда
пользуются алфавитной и.., нумерациями, римской

чаще всего при обозначении порядковых числительных.

В современном обществе большинство
народов пользуется арабской (...) нумера- индусской

Письменные нумерации (системы) де
лятся на две большие группы: позицион
ные и... системы счисления. непозиционные

§ 6. Счетные приборы

Самыми древними приборами для облегчения счета и вычислений были человеческая рука и камешки. Благодаря счету на пальцах возникли пятиричная и десятиричная (десятичная) системы счисления. Верно подмечено ученым математиком Н.Н.Лузиным, что «преимущества десятичной системы не математические, а зоологические. Если бы у нас на руках было не десять пальцев, а восемь, то человечество пользовалось бы восьмиричной системой».

В практической деятельности при счете предметов люди использовали камушки, бирки с зарубками, веревки с узелками и др. Первым и более усовершенствованным устройством, специально предназначенным для вычислений, был простой абак, с которого и началось развитие вычислительной техники. Счет с помощью абака, известный уже в Китае, Древнем Египте и Древней Греции задолго до нашей эры, просуществовал многие тысячелетия, когда на смену абаку пришли письменные вычисления. При этом следует заметить, что абак служил не столько для облегчения собственно вычислений, сколько для запоминания промежуточных результатов.

Известно несколько разновидностей абака: греческий, который был выполнен в виде глиняной дощечки, на которой твердым предметом проводили линии и в получившиеся углубления (бороздки) клали камешки. Еще более простым был римский абак, на котором камешки могли передвигаться не по желобам, а просто по линиям, нанесенным на доске.

В Китае похожий на абак прибор называли суан-пан, а в Японии - соробан. Основой для этих приборов были шари-

ки, нанизанные на прутики; счетные таблицы, состоящие из горизонтальных линий, соответствующих единицам, десяткам, сотням и т.д., и вертикальных, предназначенных для отдельных слагаемых и сомножителей. На эти линии выкладывались жетоны - до четырех.

У наших предков тоже был абак - русские счеты. Они появились в XVI-XVII вв., ими пользуются и в наши дни. Основная заслуга изобретателей абака состоит в использовании позиционной системы счисления.

Следующим важным этапом в развитии вычислительной техники было создание суммирующих машин и арифмометров. Такие машины были сконструированы независимо друг от друга разными изобретателями.

В рукописях итальянского ученого Леонардо да Винчи (1452-1519) имеется эскиз 13-разрядного суммирующего устройства. Немецким ученым В.Шикардом (1592-1636) был разработан 6-разрядный эскиз, а сама машина была построена примерно в 1623 году. Следует отметить, что эти изобретения стали известны только в середине XX в., поэтому никакого влияния на развитие вычислительной техники они не оказали. Считалось, что первую суммирующую машину (8-разрядную) сконструировал в 1641 году, а построил в 1645 году Б.Паскаль. По этому проекту было налажено их серийное производство. Несколько экземпляров этих машин сохранилось до наших дней. Достоинством их было то, что они позволяли выполнять все четыре арифметических действия: сложение, вычитание, умножение и деление.

Под термином «вычислительная техника» понимают совокупность технических систем, т.е. вычислительных машин, математических средств, методов и приемов, используемых для облегчения и ускорения решения трудоемких задач, связанных с обработкой информации (вычислениями), а также отрасль техники, занимающейся разработкой и эксплуатацией вычислительных машин. Основные функциональные элементы современных вычислительных машин, или компьютеров, выполнены на электронных приборах, поэтому их называют электронными вычислительными машинами - ЭВМ. По способу представления информации вычислительные машины делят на три группы;

Аналоговые вычислительные машины (АВМ), в которых информация предстаатяется в виде непрерывно изменяющихся переменных, выраженных какими-либо физическими величинами;

Цифровые вычислительные машины (ЦВМ), в которых
информация представляется в виде дискретных значений пе
ременных (чисел), выраженных комбинацией дискретных зна
чений какой-либо физической величины (цифры);

Гибридные вычислительные машины (ГВМ), в кото
рых используются оба способа представления информации.

Первое аналоговое вычислительное устройство появилось в XVII в. Это была логарифмическая линейка.

В XVIII-XIX вв. продолжалось совершенствование механических арифмометров с электрическим приводом. Это усовершенствование носило чисто механический характер и с переходом на электронику утратило свое значение. Исключение составляют лишь машины английского ученого Ч.Бе-биджа: разностные (1822) и аналитические (1830).

Разностная машина предназначалась для табулирования многочленов и с современной точки зрения была специализированной вычислительной машиной с фиксированной (жесткой) программой. Машина имела «память» - несколько регистров для хранения чисел. При выполнении заданного числа шагов вычислений срабатывал счетчик числа операций - раздавался звонок. Результаты выводились на печать - печатающее устройство. Причем по времени эта операция совмещалась с вычислениями.

При работе над разностной машиной Бебидж пришел к идее создания цифровой вычислительной машины для выполнения разнообразных научных и технических расчетов. Работая автоматически, эта машина выполняла заданную программу. Автор назвал эту машину аналитической. Данная машина - прообраз современных ЭВМ. Аналитическая машина Бебиджа включала в себя следующие устройства:

Для хранения цифровой информации (теперь это назы
вается запоминающим устройством);

Для выполнения операций над числами (теперь это
арифметическое устройство);

Устройство, для которого Бебидж не придумал назва
ния и которое управляло последовательностью действий ма
шины (сейчас это устройство управления);

Для ввода и вывода информации.

В качестве носителей информации при вводе и выводе Бебидж предполагал использовать перфорированные карточки (перфокарты) типа тех, которые применяются в управлении ткацким станком. Бебидж предусмотрел ввод в машину таблиц значений функций с контролем. Выходная информация могла печататься, а также пробиваться на перфокартах,

что давало возможность при необходимости снова вводить ее в машину.

Таким образом, аналитическая машина Бебиджа была первой в мире программно-управляемой вычислительной машиной. Для этой машины были составлены и первые в мире программы. Первым программистом была дочь английского поэта Байрона - Августа Ада Лавлейс (1815-1852). В ее честь один из современных языков профаммирования называется «Ада».

Первой электронно-вычислительной машиной принято считать машину, разработанную в Пенсинвальском университете США. Эта машина ЭНИАК была построена в 1945 году, имела автоматическое программное управление. Недостатком этой машины было отсутствие запоминающего устройства для хранения команд.

Первой ЭВМ, обладающей всеми компонентами современных машин, была английская машина ЭДСАК, построенная в 1949 году в Кембриджском университете. В запоминающем устройстве этой машины размещаются числа (записанные в двоичном коде) и сама программа. Благодаря числовой форме записи команд программы машина может производить различные операции.

Под руководством С.А.Лебедева (1902-1974) была разработана первая отечественная ЭВМ (электронная вычислительная машина). МЭСМ выполняла всего 12 команд, номинальная скорость действий - 50 операций в секунду. Оперативная память МЭСМ могла хранить 31 семнадцатиразрядное двоичное число и 64 двадцатиразрядные команды. Кроме этого, имелись внешние запоминающие устройства. В 1966 году под руководством этого же конструктора была разработана большая электронно-счетная машина (БЭСМ).

Электронно-вычислительные машины используют различные языки программирования - это система обозначений для описания данных информации и программ (алгоритмов).

Профамма на машинном языке имеет вид таблицы из цифр, каждая ее строчка соответствует одному оператору - машинной команде. При этом в команде, например, первые несколько цифр являются кодом операции, т.е. указывают машине, что надо делать (складывать, умножать и т.д.), а остальные цифры указывают, где именно в памяти машины находятся нужные числа (слагаемые, сомножители) и где следует запомнить результат операций (сумму произведений и т.д.).

Язык программирования задается тремя компонентами: алфавитом, синтаксисом и семантикой.

Большинство языков программирования (БЕЙСИК, ФОРТРАН, ПАСКАЛЬ, АДА, КОБОЛ, ЛИСП), разработанных к настоящему времени, являются последовательными. Профаммы, написанные на них, представляют собой последовательность приказов (инструкций). Они последовательно, один за другим, обрабатываются на машине при помощи так называемых трансляторов.

Производительность вычислительных машин будет повышаться за счет параллельного (одновременного) выполнения операций, тогда как большинство существующих языков программирования рассчитано на последовательное выполнение операций. Поэтому будущее, видимо, за такими языками программирования, которые позволят описывать саму решаемую задачу, а не последовательность выполнения операторов.

Упражнения для самопроверки

Развитие... приборов в истории мате- счетных
матики происходило постепенно. От ис
пользования частей собственного тела - пальцев руки
... - к использованию различных специ- абак
ально создаваемых устройств: ... линей- логарифмическая
ка, счеты, ... , аналитическая машина и вычислительная
электронно- ... машина.

Программами для... машин являются электронно-вычисли-

таблицы из цифр. тельных

Компонентами языков программирова
ния являются алфавит, ... и семантика. синтаксис

§ 7. Становление, современное состояние и перспективы

развитая методики обучения элементам математики детей

дошкольного возраста

Вопросы математического развития детей дошкольного возраста своими корнями уходят в классическую и народную педагогику. Различные считалки, пословицы, поговорки, загадки, потешки были хорошим материалом в обучении детей счету, позволяли сформировать у ребенка понятия о числах, форме, величине, пространстве и времени. Например,

Этому дала, Этому дала И этому дала, А этому не дала:

Ты воды не носил, Дрова не рубил, Кашу не варил - Нет тебе ничего.

Первая печатная учебная книжка И.Федорова «Букварь» (1574 г.) включала мысли о необходимости обучения детей счету в процессе различных упражнений. Вопросы содержания методов обучения математике детей дошкольного возраста и формирования у них знаний о размере, измерении, о времени и пространстве можно найти в педагогических трудах Я.А. Коменского, М.Г.Песталоцци, К.Д.Ушинского, Ф.Фребеля, Л.Н.Толстого и других.

Так, Я.А.Коменский (1592-1670) в книге «Материнская школа» рекомендует еще до школы обучать ребенка счету в пределах двадцати, умению различать числа большие-меньшие, четные-нечетные, сравнивать предметы по величине, узнавать и называть некоторые геометрические фигуры, пользоваться в практической деятельности единицами измерения: дюйм, пядь, шаг, фунт и др.

В классических системах сенсорного обучения Ф.Фребеля (1782-1852) и М.Монтессори (1870-1952) представлена методика ознакомления детей с геометрическими фигурами, величинами, измерением и счетом. Созданные Фребелем «дары» и в настоящее время используются в качестве дидактического материала для ознакомления детей с числом, формой, величиной и пространственными отношениями.

О значении обучения детей счету до школы неоднократно писал К.Д.Ушинский (1824-1871). Он считал важным научить ребенка считать отдельные предметы и их группы, выполнять действия сложения и вычитания, формировать понятие о десятке как единице счета. Однако все это было лишь пожеланиями, не имеющими никакого научного обоснования.

Особое значение вопросы методики математического развития приобретают в педагогической литературе начальной школы на рубеже XIX-XX ст. Авторами методических рекомендаций тогда были передовые учителя и методисты. Опыт практических работников не всегда был научно обоснован-

ным, зато был проверен на практике. Со временем он усовершенствовался, сильнее и полнее в нем выявилась прогрессивная педагогическая мысль. В конце XIX - в начале XX столетия у методистов возникла потребность в разработке научного фундамента методики арифметики. Значительный вклад в разработку методики сделали передовые русские учителя и методисты П.С.Гурьев, А.И.Гольденберг, Д.Ф.Егоров, ВАЕвту-шевский, ДД.Галанин и другие.

Первые методические пособия по методике обучения дошкольников счету, как правило, были адресованы одновременно учителям, родителям и воспитателям. На основе опыта практической работы с детьми В.А.Кемниц издала методическое пособие «Математика в детском саду» (Киев, 1912), где основными методами работы с детьми предлагаются беседы, игры, практические упражнения. Автор считает необходимым знакомить детей с такими понятиями, как: один, много, несколько, пара, больше, меньше, столько же, поровну, равный, такой же и др. Основной задачей является изучение чисел от 1 до 10, причем каждое число рассматривается отдельно. Одновременно дети усваивают действия над этими числами. Широко используется наглядный материал.

В ходе бесед и занятий дети получают знания о форме, пространстве и времени, о делении целого на части, о величинах и их измерении.

Вопросы о методах, содержании обучения детей счету и математическом развитии в целом, которые могли бы стать основой для успешного дальнейшего обучения их в школе, особенно остро дебатировались в дошкольной педагогике с момента создания широкой сети общественного дошкольного воспитания.

Наиболее крайняя позиция сводилась к запрещению любого целенаправленного обучения математике. Наиболее четко она отражена в работах К.ФЛебединцева. В книге «Развитие числовых представлений в раннем детстве» (Киев, 1923) автор пришел к выводу, что первые представления о числах в пределах 5 возникают у детей на основе различения групп предметов, восприятия множеств. А дальше, за пределами этих небольших совокупностей, основная роль в формировании понятия числа принадлежит счету, который вытесняет симультанное (целостное) восприятие множеств. При этом он считал желательным, чтобы ребенок добывал знания в этот период «незаметно», самостоятельно. К такому выводу К.Ф.Лебединцев пришел на основе наблюдений за усвоением детьми первых числовых представлений и овладением ими

счетом. Дети на самом деле очень рано начинают выделять некоторые небольшие группы однородных предметов и, подражая взрослым, называть это числом. Но эти знания еще неглубоки, не достаточно осознанны. Умения детей называть числа не всегда являются объективным показателем математических способностей. И все-таки в 20-е годы многие методисты, воспитатели приняли точку зрения К.Ф.Лебединце-ва. По их мнению, числовые представления возникают у ребенка главным образом благодаря целостному восприятию небольших групп однородных предметов, находящихся в окружающей среде (руки, ноги, ножки стола, колеса у машины и т.д.). На этом основании считалось необязательным обучать детей счету.

Однако передовые педагоги-«дошкольники» в 20-30-е годы (Е.И.Тихеева, Л.К.Шлегер и др.) отмечали, что процесс формирования числовых представлений у детей очень сложный, и поэтому необходимо целенаправленно обучать их счету. Основным способом обучения детей счету признавалась игра. Так, авторы книги «Живые числа, живые мысли и руки за работой» (Киев, 1920) Е.Горбунов-Пасадов и И.Цунзер писали, что в свою деятельность - игру ребенок пытается внедрить то, что ему интересно в данный момент. Поэтому ознакомление с элементами математики должно основызаться на активной деятельности ребенка. Считалось, что, играя, дети лучше усваивают счет, лучше знакомятся с числами и действиями над ними.

Большинство педагогов 20-30-х годов отрицательно относились к необходимости создания программ для детского сада, к целенаправленному обучению. В частности, Л.К.Шлегер утверждала, что дети должны свободно выбирать себе занятия, по собственному желанию, т.е. каждый может делать то, что он задумал, выбирать соответствующий материал, ставить себе цели и достигать их. Эта программа, по ее мнению, должна опираться на естественные наклонности и стремления детей. Роль воспитателя заключалась бы только в создании условий, способствующих самообучению детей. Л.К.Шлегер считала, что счет следует соединять с различными видами деятельности ребенка, а воспитатель должен использовать различные моменты из жизни детей для упражнений их в счете.

AFTER-POSTMODERNISM - современная (поздняя) версия развития постмодернистской философии-в отличие от постмодернистской классики деконструктивизма 2 страница

Миллионов составляют 1 миллиард.

Устная нумерация.

Примеры и задачи для устных вычислений.

Геометрический материал.

Более сложные задачи на все действия.

Примеры и задачи на все действия.

Порядок действий. Скобки.

Изменение частного.

Деление многозначных чисел.

Изменение произведения.

Умножение многозначных чисел.

Повторение сложения и вычитания.

Изменение разности.

Вычитание многозначных чисел.

Изменение суммы.

Письменная нумерация.

Устная нумерация.

Нумерация целых чисел любой величины.

2 . Назвать числа, в которых:

а) 3 сотни миллионов 2 десятка миллионов;

б) 8 сотен миллионов 4 десятка миллионов 5 миллионов;

в) 6 сотен миллионов 9 миллионов.

3 . Сколько миллионов, десятков и сотен миллионов в числах: 378 миллионов; 905 миллионов; 540 миллионов?

5. Назвать числа, в которых:

а) 5 сотен миллиардов 6 десятков миллиардов;

б) 8 сотен миллиардов 3 десятка миллиардов 4 миллиарда;

в) 6 сотен миллиардов 5 миллиардов;

6 . Сколько миллиардов, десятков миллиардов и сотен миллиардов в числах: 504 млрд.; 790 млрд.; 456 млрд.; 935 млрд.?

Назвать разряды чисел, в которых:

а) 345 миллиардов 248 миллионов;

б) 400 миллиардов 736 миллионов;

в) 680 миллиардов 24 миллиона.

8. Назвать числа, в которых:

а) 385 единиц первого класса;

б) 508 единиц второго класса;

в) 743 единицы третьего класса;

г) 214 единиц четвертого класса;

9. Назвать числа, в которых:

а) 56 единиц третьего класса и 380 единиц второго класса;

б) 5 единиц четвертого класса и 25 единиц третьего класса;

в) 1 единица четвертого класса, 300 единиц третьего класса, 286 единиц второго класса и 85 единиц первого класса.

10 . Назвать разряды и классы каждого числа таблицы и прочитать числа.

Каждое число таблицы записать в тетрадь.

14 . Прочитайте следующее сообщение:

На главной площади столицы королевства состоится награждение звездочетов - победителей.

Звездочет А. насчитал 3056800000 небесных тел,

звездочет В - 1317500000 , а

звездочет С - 1845800000.

Одновременно спрашивается, кто получит первый, кто второй, а кто третий приз?

15 . Написать цифрами следующие числа:

а) один миллиард один миллион;

б) триста двадцать пять тысяч шестьсот восемнадцать;

в) восемь миллионов двадцать три тысячи триста;

г) пятьсот миллионов пятьсот единиц;

д) четыре миллиарда десять миллионов одна тысяча и одна единица;

е) десять миллиардов девятьсот шесть тысяч;

ж) восемьдесят миллионов семь тысяч тридцать единиц;

16 . Какие разряды обозначают различные цифры следующих чисел:

568; 6798; 207886; 2326728; 20192837; 35796234865 ?

17 . Записать в виде одного числа:

а) 2000000 + 40000 + 400 + 30 + 5;

б) 20000000 + 3000000 + 700000 + 8000 + 200 + 5;

в) 300000000 + 4000000 + 50000 + 600 + 8;

18 . Разложить на разрядные слагаемые числа:

32750; 148004; 250070; 2435600; 750420045;

19 . Скольковсего десятков в следующих числах:

34560; 145634; 2000000; 34567280; 142345675; ?

20 . Скольковсего тысяч в каждом из следующих чисел:

32010; 60518; 212268; 504308; 760390; ?

21 . Сколько всего десятков тысяч в каждом из следующих чисел:

100000; 245624; 1000000; 34567310; 1000000000; 384104500000 ?

22. Обозначить цифрами числа, в которых:

а) шестьсот сорок восемь сотен;

б) одна тысяча двести шестьдесят два десятка;

в) тридцать пять сотен тысяч;

г) семнадцать десятков сотен;

д) две тысячи пятьсот четыре сотни три единицы;

23 . Написать:

а) шестизначное число, в котором отсутствуют единицы разряда сотен;

б) восьмизначное число, в котором нет единиц разряда тысяч;

в) десятизначное число, в котором нет единиц разряда десятеов тысяч.

24 . Написать:

а) наименьшее четырехзначное число;

б) наибольшее семизначное число;

в) наименьшее пятизначное число;

25 . Написать число, состоящее из трех классов, из двух классов, из четырех классов.

26. Записать цифрами следующие данные:

Радиограммы с космического корабля:

а) Полет проходит нормально. Из девяноста четырех миллионов ста тридцати восьми тысяч ста пятидесяти девяти километров осталось пролететь всего девяносто один миллион сто тринадцать тысяч сто пятьдесят три километра.

б) Попали в метеоритный поток. Бортовой компьютер насчитал сто восемьдесят миллиардов триста миллионов ударов о корпус корабля.

27 . Записать числа цифрами: 4 млн. 216 тыс. и 4 млн. 236 тыс.

28 . Округлить до тысяч числа: 145374 и 145680; 21450 и 21550; 76459 и 76511;

29. Округлить до миллионов числа: 3567400; 35247000; 115620000; 115450000; 28742000; 28327000;

30 . Округлить до миллиардов числа: 5780000000; 6460000000; 37047560000; 84915036000;

Изображение любого натурального числа возможно с помощью небольшого количества индивидуальных знаков. Этого можно было бы достичь с помощью одного знака - 1 (единицы). Каждое натуральное число тогда записывалось бы повторением символа единицы столько раз, сколько в этом числе вмещается единиц. Сложение сводилось бы к простому приписыванию единиц, а вычитание - к вычеркиванию (вытиранию) их. Идея, лежащая в основе такой системы, проста, однако эта система очень неудобна. Для записи больших чисел она практически не пригодна, и ею пользуются только народы, у которых счет не выходит за пределы одного-двух десятков.

У первобытных людей не было письменности, не было ни букв, ни цифр, каждую вещь, каждое действие изображали рисунком. Это были реальные рисунки, отображающие то или другое количество. Постепенно они упрощались, становились все более удобными для записи. Речь идет о записи чисел иероглифами. Однако для дальнейшего усовершенствования счета было необходимо перейти к более удобной записи, которая позволяла бы обозначать числа специальными, более удобными знаками (цифрами). Происхождение цифр у каждого народа различное.

Первые цифры встречаются более чем за 2 тыс. лет до н.э. в Вавилоне. Вавилоняне писали палочками на плитах из мягкой глины и потом свои записи высушивали.

Некоторые народы для записи чисел использовали буквы. Вместо цифр писали начальные буквы слов-числительных. Такая нумерация, например, была у древних греков. Так, в этой нумерации число «пять» называлось «pinta» и обозначалось буквой «Р». В настоящее время этой нумерацией не пользуется никто. В отличие от нее римская нумерация сохранилась и дошла до наших дней. Хотя теперь римские цифры встречаются не так часто: на циферблатах часов, для обозначения глав в книгах, столетий, на старых строениях и т.д. В римской нумерации есть семь узловых знаков: I, V, X, L, С, D, М.

Алфавитная система нумерации впервые была использована в Греции. Например, а, б, в и т.д.

Старинная русская нумерация также была алфавитной. Славянское алфавитное обозначение чисел возникло в X в.

Происхождение позиционного принципа, прежде всего, следует пояснить появлением мультипликативной формы записи. Мультипликативная запись - это запись с помощью умножения. Кстати, эта запись появилась одновременно с изобретением первого счетного прибора, который у славян назывался абак. Так, в мультипликативной записи число 154 можно записать: 1 x 104 – 5 x 10 + 4.

Послепечатная обработка - составная и важная часть всего полиграфического процесса. Именно она влияет на свойства и конечный вид полиграфических изделий. В типографии выполняются такие виды работ по послепечатной обработке как нумерация, перфорация, брошюровка навивкой, брошюровка на скрепку, склейка в блоки, ламинирование, кругление углов.

Нумерация

Под нумерацией понимают печать на экземплярах полиграфических изданий переменных данных, а именно присвоенных им изменяющихся номеров. Нумерация используется на уже готовых бланках. Нумерация облегчает потребителю поиск нужной информации, а в ряде случаев является обязательной процедурой, предусмотренной законодательно. Нумерация в типографиях осуществляется с помощью нумератора.

Нумерация применяется:

Для навигации по тексту
Для предотвращения фальсификации
Для соблюдения требований законодательства
Для контроля и учета соответствующих бланков.

Виды нумерации

Наиболее распространенные виды нумерации:

Прямая сквозная нумерация. Каждому первому листу соответствует номер Х, следующему Х+1 и т.д.
Обратная сквозная нумерация.
Прямая или обратная нумерация с заданным шагом.

Виды нумерации могут использоваться по требованию заказчика, если это не нарушает требование соответствующих нормативно-правовых документов (лотерейные билеты, бланки строгой отчетности и т.д.)

Брошюровка навивкой

При такой брошюровке полиграфическое издание навивается на пружину произвольного диаметра и цвета, как правило, металлического. Чаще всего навивка на пружину применяется для изготовления календарей.

Ламинирование

При ламинации полиграфическая продукция покрывается специальной пленкой, что защищает его от механических повреждений и загрязнений, сохраняя привлекательный внешний вид. Мы готовы предложить Вам одно- и двустороннюю матовую и глянцевую ламинацию различной плотности.

Брошюровка, фальцовка, биговка

Брошюровка - технология, позволяющая соединять в тетрадь (брошюру) некоторое количество листов. Брошюровка, при которой листы скрепляются металлическими скрепками, называется брошюровкой на скобу.

Фальцовка (нем. Сгибать) - нанесение линии сгиба на тонкой и средней бумаге. В дальнейшем по линии сгиба проводится сгибание полиграфических изделий.

Биговка - нанесение на листы прямых линий, углубленно-выпуклых. В дальнейшем это облегчает изгиб изделий.

Кругление углов

Под круглением углов понимают придание углам листовых изделий малого формата округлой формы. Изготавливаются эти изделия из плотной бумаги или картона. Радиус кругления может составлять 10R, 6R, 3.5R.