Теория синусов и косинусов в треугольнике. Теорема косинусов, синусов: формулировка, следствия и примеры

Формулировка: Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними.

Для произвольного треугольника ABC и его сторон a,b и с (противолежащих к соответствующим вершинам) это равенство можно записать и для двух других сторон:

Теорема косинусов используется для решения треугольников в двух главных ситуациях:

1) Когда даны две стороны и угол между ними, а требуется найти последнюю сторону:

2) Когда даны все три стороны треугольника, а требуется найти его углы:

Иногда репетитор по математике рекомендует использовать теорему косинусов в задаче с двумя данными сторонами и углом, не лежащим между ними. В этом случае а) придется решать квадратное уравнение и отбирать среди полученных корней длину реальной стороны. б) такая ситуация не характерна для задач с ЕГЭ по математике, так как не всегда однозначно задает треугольник. Если угол не лежит между сторонами, то циркулем и линейкой можно построить двух разных треугольника с такими элементами.

Теорема косинусов иногда называют расширенной теоремой Пифагора или обобщением теоремы Пифагора, ибо при угле 90 градусов из указанных выше равенств получается . Как любое обобщение она намного универсальнее и эффективнее частного случая и применяется к большему числу реальных ситуаций (в отличае от искусственных задач ГИА и ЕГЭ по математике, расчитанных на программу 8 класса).

Все известные мне доказательства связаны с векторами и координатами. В учебнике Атанасяна оно проводится через координаты точек, а в учебнике Погорелове используется понятие «скалярное произведение векторов». Проведем доказательство по Атанасяну. Оно, как мне кажется больше всего подходит репетитору по математике для работы, так как имеет меньшую зависимость от соседних тем.

Докажем равенство для стороны а и угла А . Для этого введем систему координат как показано на рисунке (ось Ох направляется вдоль стороны АС). Точка B при этом получит координаты B (cCosA;cSinA). Это единственный сложный для слабого или среднего ученика факт, который репетитор по математике , работающий по учебнику Атанасяна, должен отдельно рассмотреть. Cложным он является часто по причине того, что не подкреплен в программе достаточным количеством задач и после изучения теоремы косинусов не используется. В случае с данным расположеним точек (когда — острый) репетитору по математике достаточно обратиться к определению косинуса и синуса острого угла в прямоугольных треугольниках с пунктирными сторонами.

Даленейшее доказательство строится на алгебраических и тригонометрических выкладках. К ним необходимо добавить знание формулы расстояния между двумя точками .

Применяем формулу сокращенного усножения к квадрату суммы:

Выносим за скобку: . Используем основное тригонометрическое тождество и получаем

и в итоге

Любознательному ученику репетитор по математике может показать редкое доказательство теоермы косинусов. Проведем в треугольнике ABC высоту BH и запишем АВ=АН+НВ или с=bCosA+aCosB. Если угол B — тупой, то АВ=АН-НВ и с учетом того, что косинусы смежных углов противоположны, снова получим равенство с=bCosA+aCosB. Поэтому оно не зависит от вида треугольника. запишем аналогичные формулы для а и b:
a=cCosB+bCosC и b=aCosC+cCosA. Умножая их соответственно на а и b и вычитая из их суммы равнство с=bCosA+aCosB получим равенсто

Торема косинусов позволяет объяснить весьма полезное на практике свойство диагоналей параллелограмма: сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов длин его сторон. Для того, чтобы в этом убедиться достаточно записать теорему косинусов для каждой диагонали и сложить полученные равенства.

Примеры задач, в которых так или иначе можно (или нужно) использовать теорему косинусов:

1) В треугольнике со сторонами 2,3 и 4 найдите длину медианы, проведенную к большей стороне.
2) В том же треугольнике найдите длину биссектрисы, проведенной к большей стороне.
3) В треугольнике АВС отрезок, соединяющий середины АВ и ВС, равен 3 дм, а сторона АВ равна 7дм, угол С равен . Найдите ВС.
4) Центр окружности, вписанной в прямоугольный треугольник АВС с прямым углом С находится на расстоянии и от вершин А и В. Надите катеты треугольника.

Полноценная подготовка к ЕГЭ по математике невозможна без решения задач на теорему косинусов. В варианте ЕГЭ она может встретится или в номере B4 или в C4. Постепенно я буду переносить на страницу интересные задачи С4 из моей дидактической базы и с пробных экзаменов. Репетиторы, не забудьте, что в ГИА, как на ЕГЭ, теорема косинусов может проявиться и в первой и во второй части варианта.

Колпаков Александр Николаевич,
репетитор по математике в Москве . Подготовка к ЕГЭ

Ученик 9А класса МОУ СОШ №1 п. Селижарово Федичев Дмитрий

Работа может быть использована на уроках геометрии в 9 классе по теме: «Решение треугольников».

К задачам даны ответы, к более сложным задачам приводится решение. Некоторые задачи по усмотрению учителя могут быть предложены в качестве индивидуальной работы с учащимся на уроке или дома, а затем решение рассмотрено с классом по слайду.

Оборудование: интерактивная доска, калькулятор.

Скачать:

Предварительный просмотр:

Чтобы пользоваться предварительным просмотром презентаций создайте себе аккаунт (учетную запись) Google и войдите в него: https://accounts.google.com

Подписи к слайдам:

Тема: «Решение треугольников. Теорема синусов и косинусов» Подготовил ученик 9А класса МОУ СОШ №1 п. Селижарово Федичев Дмитрий Преподаватель математики Андреева Татьяна Владиславовна Селижарово 2013

Цель урока: - Повторить теоремы синусов и косинусов - Научиться решать задачи с применением теоремы синусов и косинусов по готовым чертежам.

Теорема синусов Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов В С А с а в

N M K 8 x y 45° 30° Найдите x, y

K M T 20 x y 60° 45° x ≈ 16,3 ; y = 22,3 x ≈ 8,3 ; y = 5,7 x ≈ 3,56 ; y = 6,4 Найдите x, y

C B D A 15° y x x ≈ 5,9 ; y ≈ 1,4 x ≈ 1, 4 ; y ≈ 0,5 x ≈ 8,5 ; y ≈ 2,6 Найдите x, y CD – биссектриса

x = 4,6 ; y = 3,4 x = 10,4 ; y = 14 x = 1,3 ; y = 9,2 Найдите x, y M L K 16 x y

x = 4,7 ; y = 7,3 x = 9, 8 ; y = 9,6 x = 5,6 ; y = 7,9 Найдите x, y A B C D 14 x y 45° 30°

Теорема косинусов Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними. В С А с а в α

Ответьте на вопросы: Чему равен cos α если: α = 90°; 0° cos α = 0 => cos ‹ 0 => cos α › 0

130° x 18 16 N K M 1 30.4 30.8 31 Найдите: Х Напомним: cos α = - cos(180°- α) cos 50°≈ 0,84

2 R T S 10 7 4 x 5° 7° 18° Найдите: Х

х 45 ° 5 C B A 3 7 Найдите: Х

60 ° A D 6 9 B C ABCD- параллелограмм Найдите: Х x 6

D C A B x y 4 15 20 10 Найдите: x y Х=13 y=21 X=17 y=26 X=21 y=13

60° x y 42 x:y = 3:8 Найти: x y X=14 y=49 X=18 y=48 X=52 y=36 1 2

QN=12 Найдите: x y 5 2. x= y= 3. x= y= 1. x= y= x 10 6 K Q N M y

Литература: 1. Л.С. Атанасян, В.Ф. Бутузов. Геометрия 7-9 кл., М. «Просвещение», 2011г. 2. Э.Н. Балаян. Геометрия: задачи на готовых чертежах для подготовки к ГИА и ЕГЭ 7-9 классы, Ростов-на-Дону «Феникс», 2013г.

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.