Радиус окружности перпендикулярен касательной. Касательная к окружности

Определение. Касательная к окружности — это прямая на плоскости, имеющая ровно одну общую точку с окружностью.

Вот парочка примеров:

Окружность с центром O касается прямой l в точке A Из любой точки M за пределами окружности можно провести ровно две касательных Различие между касательной l , секущей BC и прямой m , не имеющей общих точек с окружностью

На этом можно было бы закончить, однако практика показывает, что недостаточно просто зазубрить определение — нужно научиться видеть касательные на чертежах, знать их свойства и вдобавок как следует попрактиковаться в применении этих свойств, решая реальные задачи. Всем этим всем мы сегодня и займёмся.

Основные свойства касательных

Для того, чтобы решать любые задачи, нужно знать четыре ключевых свойства. Два из них описаны в любом справочнике / учебнике, а вот последние два — про них как-то забывают, а зря.

1. Отрезки касательных, проведённых из одной точки, равны

Чуть выше мы уже говорили про две касательных, проведённых из одной точки M. Так вот:

Отрезки касательных к окружности, проведённых из одной точки, равны.

Отрезки AM и BM равны

2. Касательная перпендикулярна радиусу, проведённому в точку касания

Ещё раз посмотрим на картинку, представленную выше. Проведём радиусы OA и OB , после чего обнаружим, что углы OAM и OBM — прямые.

Радиус, проведённый в точку касания, перпендикулярен касательной.

Этот факт можно использовать без доказательства в любой задаче:

Радиусы, проведённые в точку касания, перпендикулярны касательным

Кстати, заметьте: если провести отрезок OM , то мы получим два равных треугольника: OAM и OBM .

3. Соотношение между касательной и секущей

А вот это уже факт посерьёзнее, и большинство школьников его не знают. Рассмотрим касательную и секущую, которые проходят через одну и ту же общую точку M . Естественно, секущая даст нам два отрезка: внутри окружности (отрезок BC — его ещё называют хордой) и снаружи (его так и называют — внешняя часть MC ).

Произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату отрезка касательной

Соотношение между секущей и касательной

4. Угол между касательной и хордой

Ещё более продвинутый факт, который часто используется для решения сложных задач. Очень рекомендую взять на вооружение.

Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на эту хорду.

Откуда берётся точка B ? В реальных задачах она обычно «всплывает» где-то в условии. Поэтому важно научиться распознавать данную конфигурацию на чертежах.

Иногда всё-таки касается:)

Прямая (MN ), имеющая с окружностью только одну общую точку (A ), называется касательной к окружности .

Общая точка называется в этом случае точкой касания.

Возможность существования касательной , и притом проведенной через любую точку окружности , как точку касания, доказывается следующей теоремой .

Пусть требуется провести к окружности с центром O касательную через точку A . Для этого из точки A, как из центра, описываем дугу радиусом AO , а из точки O , как центра, пересекаем эту дугу в точках B и С раствором циркуля, равным диаметру данного круга.

Проведя затем хорды OB и OС , соединим точку A с точками D и E , в которых эти хорды пересекаются с данной окружностью. Прямые AD и AE - касательные к окружности O . Действительно, из построения видно, что треугольники AOB и AOС равнобедренные (AO = AB =AС ) с основаниями OB и OС , равными диаметру круга O .

Так как OD и OE - радиусы, то D - середина OB , а E - середина OС , значит AD и AE - медианы , проведенные к основаниям равнобедренных треугольников, и потому перпендикулярны к этим основаниям. Если же прямые DA и EA перпендикулярны к радиусам OD и OE , то они - касательные .

Следствие.

Две касательные, проведенные из одной точки к окружности, равны и образуют равные углы с прямой, соединяющей эту точку с центром .

Так AD=AE и ∠OAD = ∠OAE потому, что прямоугольные треугольники AOD и AOE , имеющие общую гипотенузу AO и равные катеты OD и OE (как радиусы), равны. Заметим, что здесь под словом “касательная” подразумевается собственно “отрезок касательной ” от данной точки до точки касания.

Понятие касательной к окружности

Окружность имеет три возможных взаимных расположений относительно прямой:

Если расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Если расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса, то прямая имеет две точки пересечения с окружностью.

Введем теперь понятие касательной прямой к окружности.

Определение 1

Касательной к окружности называется прямая, которая имеет с ней одну точку пересечения.

Общая точка окружности и касательной называется точкой касания (рис 1).

Рисунок 1. Касательная к окружности

Теоремы, связанные с понятием касательной к окружности

Теорема 1

Теорема о свойстве касательной : касательная к окружности перпендикулярна к радиусу, проведенному в точку касания.

Доказательство.

Рассмотрим окружность с центром $O$. Проведем в точке $A$ касательную $a$. $OA=r$ (Рис. 2).

Докажем, что $a\bot r$

Будем доказывать теорему методом «от противного». Предположим, что касательная $a$ не перпендикулярна радиусу окружности.

Рисунок 2. Иллюстрация теоремы 1

То есть $OA$ - наклонная к касательной. Так как перпендикуляр к прямой $a$ всегда меньше наклонной к этой же прямой, то расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса. Как нам известно, в этом случае прямая имеет две точки пересечения с окружностью. Что противоречит определению касательной.

Следовательно, касательная перпендикулярна к радиусу окружности.

Теорема доказана.

Теорема 2

Обратная теореме о свойстве касательной : Если прямая, проходящая через конец радиуса какой-либо окружности перпендикулярна радиусу, то данная прямая является касательной к этой окружности.

Доказательство.

По условию задачи мы имеем, что радиус -- перпендикуляр, проведенный из центра окружности к данной прямой. Следовательно, расстояние от центра окружности до прямой равняется длине радиуса. Как мы знаем, в этом случае окружность имеет только одну точку пересечения с этой прямой. По определению 1 и получаем, что данная прямая -- касательная к окружности.

Теорема доказана.

Теорема 3

Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проходящей через эту точку и центр окружности.

Доказательство.

Пусть дана окружность с центром в точке $O$. Из точки $A$ (лежащей все окружности) проведены две различные касательные. Из точки касания соответственно $B$ и $C$ (Рис. 3).

Докажем, что $\angle BAO=\angle CAO$ и что $AB=AC$.

Рисунок 3. Иллюстрация теоремы 3

По теореме 1, имеем:

Следовательно, треугольники $ABO$ и $ACO$ -- прямоугольные. Так как$OB=OC=r$, а гипотенуза $OA$ -- общая, то эти треугольники равны по гипотенузе и катету.

Отсюда и получаем, что $\angle BAO=\angle CAO$ и $AB=AC$.

Теорема доказана.

Пример задачи на понятие касательной к окружности

Пример 1

Дана окружность с центром в точке $O$ и радиусом $r=3\ см$. Касательная $AC$ имеет точку касания $C$. $AO=4\ см$. Найти $AC$.

Решение.

Изобразим вначале все на рисунке (Рис. 4).

Рисунок 4.

Так как $AC$ касательная, а $OC$ радиус, то по теореме 1, получаем, что$\angle ACO={90}^{{}^\circ }$. Получили, что треугольник $ACO$ -- прямоугольный, значит, по теореме Пифагора, имеем:

\[{AC}^2={AO}^2+r^2\] \[{AC}^2=16+9\] \[{AC}^2=25\] \

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

• Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

• Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
• Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
• Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
• Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

• В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
• В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.